Доказательство.

Рассмотрим , , ограничено сверху, так как любое является верхней границей множества в силу вложенности отрезков. .Тогда:

а) - верхняя граница , то есть .

б) - наименьшая из всех границ, то есть.

.

 

Замечание:Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.

.

( ] ] ] ]

0 1/3 1/2 1

 

 

БИЛЕТ 4. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограни­ченность сходящейся последовательности.

Определение:функцию называют числовой последовательностью.

- члены числовой последовательности.

- номер члена числовой последовательности.

или ,

=, -общий член.

Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа (>0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .

 

Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство:

Пусть , , .

Для определенности имеем:

.

< <

<. <.

 

Противоречие.

 

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.

- сходящаяся : .

Возьмем =1.

Обозначим , тогда

, тогда

Отсюда для обоих случаев

 

Замечание: обратное не верно.

 

БИЛЕТ 5. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.

Теорема: (о предельном переходе в неравенство):

Пусть , . . Тогда .

Замечание:

.

Доказательство (от противного):

Пусть .

Возьмем .

Обозначим

.

 

- противоречие.

Замечание: Если для элементов последовательности выполняется , то отсюда не следует, что . .

=, =, .