Доказательство: (метод деления пополам).
I). Проведем построение системы отрезков.
ограниченная 
.
Рассмотрим точку 
- середину отрезка 
.
1) В отрезке
содержится бесконечное
2) число элементов 
.
Тогда 
, 
.
3) В противном случае 
, 
,
4) 
-содержит бесконечное число
5) элементов .
Рассмотрим точку 
- середину 
и так далее.
1. 
2. 
в 
содержится бесконечное число элементов .
3. 
.
II). Выбор подпоследовательности
По лемме о вложенных отрезках: 
1) 
произвольный элемент из
2) 
элемент из 
: 
………………………………………………….
k) 
элемент из 
: 
Докажем, что 
.
 |
0 (
).
.
БИЛЕТ 13. Критерий Коши сходимости
последовательности.
Теорема (критерий Коши): Числовая
последовательность сходится тогда и только
тогда, когда она фундаментальна.
Замечание:Условие необходимости (=>),
условие достаточности (<=), критерий- условие
необходимости и достаточности (<=>).
1) Необходимость: (=>).Пусть 
.
Возьмем произвольный 
Тогда 
.
. Обозначим
,
тогда 
.
фундаментальна.
2) Достаточность: (<=).
1. фундаментальна => ограниченная
.
Возьмем 
, 
, тогда
.
Обозначим 
.
.
ограничена.
2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
ограниченная => 
- сходящаяся.
Обозначим 
3. Докажем, что 
Возьмем произвольный 
. фундаментальная
=> 
.
Обозначим 
и выберем 
1) k>K
2) 
Тогда 
.
.
То есть
БИЛЕТ 14. Два определения предела
функции. Эквивалентность определений.
Пусть 
определена в некоторой выколотой 
окрестности т.
Определение 1 (Гейне):
, если
,
, 
Замечание:
Определение 2 (Коши):, если
.
.
Замечание: 
, то есть
.
Теорема:Определение 1 <=> Определение 2.
Имеем 
.
.
Возьмем произвольную 
==>
.
Обозначим 
. Тогда 
0<
.