Таблица основных производных

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ №1

1. Таблица основных производных.

№ п/п	Функция у	Производная	№ п/п	Функция	Производная
	с
	х







	,

2. Таблица основных интегралов.

1. . 11. .

2. . 12. .

3. . 13. .

4. . 14. .

5.. 15. .

6. . 16. .

7. . 17. .

8. . 18. .

9. . 19. .

10. . 20. .

3. Понятие криволинейной трапеции, интегральная сумма, определенный интеграл (все графики, формулы и их описание).

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная графиком функции , осью Ох, прямыми и , называется криволинейной трапецией. Рассмотрим способ определения площади криволинейной трапеции, приводящей к понятию определенного интеграла.

Разобьем отрезок [a,b] точками на участки и обозначим каждый участок и его длину . Внутри каждого выберем точку и обозначим значение функции в этой точке . Составим произведения , которые будут равны площадям прямоугольников с высотой и основанием . Составим сумму этих произведений . Эта величина называется интегральной суммой для функции на [a;b], то есть сумма площадей прямоугольников, то есть приближенное значение площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями). Будем искать предел этой суммы при . Если этот предел существует независимо ни от способов разбиения отрезков на участки, ни от выбора точек , то он называется определенным интегралом и обозначается как , то есть . При этом число называется нижним пределом,число - верхним пределом;функция - подынтегральной функцией,выражение - подынтегральным выражением, а задача о нахождении -интегрированием функциина отрезке [a;b].

4. Необходимое и достаточные условия интегрируемости функции.

Теорема I (необходимое условие интегрируемости функции).

Если функция интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке.

В следующих трех теоремах сформулированы достаточные условия интегрируемости.

Теорема IIЕсли функция непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема III Если функция монотонна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема IV Если функция ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна во всех точках [a;b], кроме конечного числа точек, в которых она имеет разрыв 1 рода, то эта функция интегрируема на этом отрезке.

Достаточные условия интегрируемости (коротко по Чабану):

1) f(x) непрерывна на [a,b]

2) f(x) непрерывна на [a, b], кроме конечного числа точек разрыва I рода

3) функция монотонна и ограничена

5. Геометрический и экономический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла.

В случае, когда функция неотрицательна на отрезке [a;b], где a<b, численно равен площади S под кривой на [a;b](рис.1).

Экономический смысл определенного интеграла.

Пусть функция z=f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем выпускаемой продукции u, за промежуток времени [0;T] будет равен , где f(t)-производительность труда в момент t.

6. Основные свойства определенного интеграла.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

7. Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, то есть . Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

При применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную для подынтегральной функции , например, содержащую .

8. Замена переменной в определенном интеграле.

Замена переменных в определенном интеграле выполняется в основном аналогично замене переменных в неопределенном интеграле. Разница заключается в том, что при вычислении определенного интеграла возвращение к исходной переменной после нахождения первообразной не является обязательным. При этом возникает необходимость изменения пределов интегрирования.

Пусть выполняются следующие условия:

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке ;

3) 3), ;

4) функция определена и непрерывна на отрезке ,

тогда - формула замены переменной в определенном интеграле.

9. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Если функции и дифференцируемы на отрезке , то - формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

10. Несобственные интегралы первого рода.

Пусть функция определена и непрерывна при . Несобственным интегралом 1-го рода называется , то есть =. Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, иначе интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяются интегралы и :

; .

Часто бывает достаточно только оценить сходимость или расходимость несобственного интеграла и оценить его значение.

11. Признак сравнения и следствие из него.

Признак сравнения. Пусть при . Тогда:

1)если интеграл сходится, то сходится и интеграл ;

2)если интеграл расходится, то расходится и интеграл .

Следствие. Пусть , , при любом и существует конечный или бесконечный предел , тогда:

1)если сходится и , то сходится и интеграл ;

2)если расходится и , то расходится и интеграл ;

3)при интегралы и сходятся и расходятся одновременно.

Замечание. При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтегральную функцию с функцией , , сходится при и расходится при .

12. Несобственные интегралы второго рода.

Пусть функция определена и непрерывна при и имеет разрыв при , тогда: - несобственный интеграл 2-го рода. Если при этом предел, стоящий справа, существует и конечен, то интеграл сходящийся, иначе расходящийся.

Аналогично определяются несобственные интегралы от функций, имеющей разрыв при : и от функции, разрывной в точке : , если существуют оба интеграла, стоящие в правой части.

Для несобственных интегралов 2-го рода справедливы те же утверждения, что и для несобственных интегралов 1-го рода.

13. Вычисление площадей (формулы и рисунки).

Алгоритм нахождения площади плоской фигуры:

1. Построить чертеж (схематично);

2. Найти пределы интегрирования (при необходимости);

3. Составить формулу для вычисления площади фигуры с помощью определенного интеграла;

4. Вычислить площадь фигуры.

14. Вычисление объемов тел вращения (формулы и рисунки).

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми , , осью и функцией .

Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .

Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:

Если криволинейная трапеция прилежит к оси (прямые , , ось и функция ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл: