Линейная зависимость векторов.

Опр1: - линейная комбинация в-в с коэффициентами

Опр2:Система в-в назыв. линейно зависимой, если ()

=. В противном случае система явл. линейно независимой.

Утв1(док-во самостоят):Система векторов линейно зависимо один из векторов выражается в виде лин. комбинации других.

Утв2(док-во самостоят): Если среди в-в есть хотя бы один , то система лин. зависима.

Утв3:Векторы и линейн зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Док-во: 1)Пусть и линейно зависимы. В силу утверждения1 и компланарны.

2)Пусть и компланарны. Докажем что они зависимы. К ощему началу

 

в силу утв 1 лин. зависимы

 

линейно завис.

Утв4:Вектора линейно зависимы - компланарны

Док-во:

1)Пусть (нет коллинеарных). К общему началу

 

линейно зависимы

Пусть - линейно зависимы, тогда в силу утв 1 . Строим по правилу параллелограма компланарны - компланарны

В 1) и - компланарны и - линейно зависимая система - линейно зависимая система.

Утв5: Любые четыре вектора - линейно зависимая система.

Док-во:1) Пусть нет компланарной тройки. Через конец проведем плоскость, параллельную , ,

2) - компланарны- линейно зависимы линейно зависимы