Смешанное произведение векторов

 

h

Рис. 17

Определение. Смешанным произведением ненулевых векторов , , называется скалярное умножение векторного произведения на вектор . Обозначается: .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема2.1. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах, взятого со знаком «+», если , , - правая тройка векторов, и со знаком «-», если , , - левая тройка векторов (рис. 18).

Доказательство. Построим параллелепипед на этих векторах, принимая за основание параллелограмм, построенный на векторах и . Заметим, что вектор .

Имеем

, ,

где S - площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;

- для правой тройки векторов, - для левой тройки векторов, где h - высота параллелепипеда.

Получаем

,

где V - объем параллелепипеда, образованного векторами , , .

Свойства смешанного произведения

1) .

Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей.

2) .

Действительно, в силу первого свойства , откуда в силу свойств скалярного произведения следует, что .

Поэтому принято смешанное произведение обозначать ( ).

3) , , .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4) Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны , если , и - компланарны).

Допустим, что это не так. Тогда, можно было бы построить параллелепипед с объемом V ¹ 0. Но , что противоречит условию .

Обратно, пусть векторы , и - компланарны. Тогда будет ортогонален плоскости векторов , , и, следовательно, . Поэтому , т. е. .

5) Если заданы векторы {x_a, y_a, z_a}, {x_b, y_b, z_b} и {x_с, y_с, z_с} в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

( )= .

Доказательство. Т. к. , используя выраже­ния в координатах для векторного и скалярного умножения, имеем

.

Умножим векторное произведение скалярно на вектор

( ) .

Некоторые приложения смешанного произведени векторов

1°. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если , то - правая тройка, если , то - ле­вая тройка.

2°. Установление компланарности векторов.

Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю ( , , )

Û Û , и компланарны.

3°. Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды.

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векто­рах , и вычисляется как , а объем треугольной пира­миды (тетраэдра), построенной на этих же векторах, равен .

Пример18. Вычислить , если

Очевидно, что вектора являются компланарными, поэтому,

Пример19. Даны координаты вершин тетраэдра ABCD: А(1;4;0), В(0;6;4),С (−4;4;− 6), D (−4;8;2). Найти объем тетраэдра.

Решение. Построим три вектора с общим началом: Вычислим смешанное произведение указанных векторов

 

Тогда