Гипербола

Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, мень­шая расстояния между фокусами (рис. 31).

M(x, y)

y

x

a

b

r1

r2

c

F1

F2

В1

В2

А1

А2

Рис. 30

 

Выберем фокусы так, чтобы они лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂, тогда фокусы имеют координаты F₁(-c, 0), F₂(c, 0), значит расстояние между ними равно 2с. По определению 2а < 2c, т. е. a < c.

Пусть M(x, y) - произвольная точка гиперболы. Тогда, по определе­нию гиперболы, |MF₁ - MF₂| = 2a или MF₁ - MF₂ = ±2a, т. е.

.

После упрощений, аналогичных упрощениям при выводе уравнения эл­липса, получим каноническое уравнение гиперболы

, (3.17)

где

.

Точки А₁(a,0), А₂(-a,0) называются вершинами гиперболы, отрезок А₁А₂ = 2a называется действительной осью гиперболы, a – действительной полуосью.

Отрезок В₁В₂ = 2b, соединяющий точки B₁(0,b) и B₂(0,-b), называется мнимой осью, число b - мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяю­щего фокусы и относительно осей координат.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

Эксцентриситет характеризует вытянутость основного прямоуголь­ника, причем если эксцентриситет близок к единице, то ветви гиперболы сильно прижаты к оси Ox. С учетом того, что с² – а² = b²

 

 

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

В случае, когда вершины гиперболы лежат на оси Oy, уравнение гиперболы записывают так

, (3.18)

а асимптоты

Очевидно, что гиперболы (3.17) и (3.18) имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Определение. Две прямые, перпендикулярные действитель­ной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и дирек­трисы эллипса.

Фокальные радиусы и для точек правой ветви гиперболы имеют вид и , а для левой - и

Пример 15. Определить вершины, фокусы, эксцентриситет и асим­птоты гиперболы .

Решение. В соответствии с формулой (3.18) имеем

а = 2, и b = 3, ,

Пример 16. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриси­тет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравне­нием

Решение. Находим фокусное расстояние c² = 25 – 9 = 16. Для гиперболы: c² = a² + b² = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c² = 4a²; a² = 4; b² = 16 – 4 = 12.

Получили: - искомое уравнение гиперболы.