Уравнение плоскости

Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор n = (A;B;C), перпендикулярный плоскости a.

Рассмотрим произвольную точку плоскости M(x, y, z). Точка M лежит на плоскости a тогда и только тогда, когда векторы иn взаимно перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно нулю. Запишем условие перпендикулярности векторов n = (A; B; C) и

:

(4.2)

Полученное уравнение является искомым уравнение плоскости a.

Раскрывая скобки, приведем уравнение (4.2) к виду

(4.3)

где

Уравнение (4.2) называется общим уравнением плоскости. Таким образом, плоскость является поверхностью первого порядка, так как определяется уравнением первой степени.

Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (4.3) определяет в декартовой системе координат плоскость.

Пусть (x0, y0, z0) – какое-то решение уравнения (4.3) такое, что вы­полняется равенство

Вычитая это числовое равенство из равенства (4.2), получаем урав­нение:

которое эквивалентно (4.1) и, значит, определяет плоскость a. Теорема доказана.

Теорема 4.1. Уравнение плоскости в декартовой системе координат является уравнением первого порядка (4.3). Всякое уравнение первого порядка есть уравнение некоторой плоскости

Вектор n = (A; B; C), перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

Пусть тогда из уравнения (4.3) следует уравнение плоскости в отрезках

(4.4)

где

 

В (4.4) − величины отрезков, отсекаемых на координатных осях.

Пусть уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1; B1; C1) и n2 = (A2; B2; C2). Угол между плоскостями совпадает с углом между нормальными векторами плоскостей, поэтому его можно найти через скалярное произведение нормальных векторов в декартовой системе координат:

(4.5)

Очевидно, что другой угол .

Из (4.5) следует условие перпендикулярности плоскостей и :

(4.6)

Плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда нор­мальные векторы плоскостей параллельны, и, значит, их координаты пропорциональны. Условие параллельности плоскостей и :

(4.7)

x
z
y
Рис. 35.
n
M(x, y, z)
a
b
g
P
Пусть заданы декартовая система координат Oxyz и произвольная плос­кость p (рис. 35). Проведем через начало координат прямую, перпен­дикулярную плоскости p. Назовем ее нормалью. Обозначим через Р точку, в которой нормаль пересекает плоскость. Пусть углы − углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат; p – длина отрезка OP.

Выведем уравнение плоскости p, считая известными и p. Вектор n = ( ) является единичным вектором на нормали.

Рассмотрим произвольную точку плоскости M(x, y, z). Она лежит на плоскости тогда и только тогда, когда

,

или через скалярное произведение

.

Из последнего равенства получаем нормальное уравнение плоскости

(4.8)

Теорема4.2. Если точка имеет координаты x*, y*, z*, а плоскость задана нормальным уравнением (4.8), то расстояние от точки до этой плоскости определяется по формуле

(4.9)

Доказательство.Пусть Q – проекция точки на направленную нормаль (рис. 36); тогда

 

x
z
y
Рис. 36.
n
M*(x*, y*, z*)
P
Q

 

 

Поскольку , ОP = p, то

 

Покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть

− общее уравнение некоторой плоскости, а

 

− ее нормальное уравнение. Так как уравнения определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т. е.

 

Откуда

Чтобы найти множитель возведем первые три из равенств в квадрат и сложим, тогда получим

. (4.10)

Число , при помощи которого общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду, называется нормирующим множителем этого уравнения. Знак в (4.10) противоположен свободному члену D.

Пример 4. Найти расстояние от точки M(4, 3, 1) до плоскости, заданной уравнением

Решение. Вычислим нормирующий множитель (4.10):

 

Тогда из нормального уравнения плоскости

по формуле (4.9) находим

 

Выведем уравнение плоскости, проходящей через три различных точки M0(x0, y0, z0), M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), не лежащих на одной прямой. Пусть произвольная точка M(x, y, z) лежит на этой плоскости и три вектора , , имеют начало в одной точке M0(x0, y0,z0). Точка с координатами (x, y, z) принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны, и, значит, их смешанное произведение равно нулю

(4.11)

Если разложить определитель (4.11) по строке, то получим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пример 5.Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки M0(1, 2, 4), M1(2, 3, 6), M2(0, 4, −2).

Решение. Векторы = (x − 1, y − 2, z − 4), = (1,1,2), = (−1,2,−6) являются компланарными и их смешанное произведение (4.11) равно нулю:

 

 

Уравнение искомой плоскости:

Пример 6.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0(2, 2, 4) и параллельную плоскости

Решение. Вектор n = (A; B; C), перпендикулярный искомой плоскости удовлетворяет условию (7)

Тогда Положим, к примеру, затем из уравнения (4.1) находим искомое уравнение плоскости