Уравнение прямой в пространстве

 

Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn₁ = (A₁; B₁; C₁) и n₂ = (A₂; B₂; C₂). Нормальные векторы не параллельны, т.е. не выполняется условие (4.7). Каждую прямую можно представить как пересечение плоскостей

(4.12)

Уравнение (4.12) называется общим уравнением прямой.

Для решения задач общее уравнение не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнения прямой.

Пусть какая-нибудь прямая L параллельна вектору a(l, m, n). Вектор a называется направляющим вектором данной прямой. Найдем уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющей направляющий вектор a(l, m, n).

Пусть точка M(x, y, z) – произвольная. Она лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор = (x – x₀, y – y₀, z – z₀) параллелен направ­ляющему вектору a(l, m, n), т. е., когда их координаты пропорциональны

(4.13)

Уравнение (4.13) называется каноническим уравнением прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M₀(x₀, y₀, z₀), M₁(x₁, y₁, z₁) следует из уравнения (4.13), если a = ,

Пример 7.Уравнение прямой задано общим уравнением

 

Найти каноническое уравнение прямой.

Решение. Найдем какую-нибудь точку M₀(x₀, y₀, z₀) прямой L. Полагая, например x₀ = 1, из системы

 

получаем y₀= 2, z₀= 1. Таким образом, точка M₀ =(1; 2; 1) прямой найдена.

Определим направляющий вектор a. Имеем нормальные векторы к плоскостям

n₁ = (3; 2; 4) и n₂ = (2; 1; −3).

Так как направляющий вектор a прямой перпендикулярен нормальным векторам, то

 

т. е. a(−10; 17; −1). Подставляя найденные значения в (4.13), получаем каноническое уравнение прямой

 

Пусть прямая L задана уравнением (4.13). Обозначая через t каждое из равных отношений. Тогда

 

откуда

(4.14)

Равенства (4.14) называются параметрическим уравнением прямой.

Пример 8. Пусть заданы прямая и плоскость 2x + y + z − 6 = 0. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Решение. Представим уравнение прямой в параметрической форме

 

Подставляя выражения для x, y, z в уравнение плоскости, получаем уравнение для определения параметра t

Откуда t = −1. Следовательно, x = 1, y = 2, z = 2.

 

Рассмотрим две прямые L₁ и L₂, заданные соответственно уравнениями

 

При любом расположении прямых в пространстве угол между прямы­ми равен углу между направляющими векторами a₁(l₁, m₁, n₁) и a₂(l₂, m₂, n₂)

(4.15)

Очевидно, что другой угол .

Условие перпендикулярности параллельности прямых совпадает с условием параллельности направляющих векторов

(4.16)

Условие параллельности прямых совпадает с условием перпендикулярности направляющих векторов

(4.17)

Найдем формулу для вычисления расстояния d от данной точки до прямой в пространстве.

Пусть дана прямая

 

и точка М₁(x₁, y₁, z₁). Искомое расстояние dот точки М₁ до прямой Lявляется высо­той параллелограмма (рис. 37), построенного на направляющем и векторе = (x₁ – x₀, y₁ – y₀, z₁ – z₀).

Площадь параллелограмма S найдем через модуль векторного произведения

 

тогда

(4.18)

Пример 9. Найти расстояние от точки M(1;2;4) до прямой, заданной уравнением

M0

M1

a

L

Рис. 37.

Решение. Расстояние dот точки М₁ до прямой Lявляется высотой параллелограмма, построенного на направляющем векторе прямой a(3;2;2) и векторе

Найдем векторное произведение указанных векторов:

 

откуда

 

Расстояние d определим по формуле (4.18)

 

В заключении рассмотрим задачу: найти уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком прямых.

Пусть прямая задана общим уравнением (4.12). Тогда уравнение вида

 

при условии является уравнением пучка плоскостей.Числа вида не обращаются в нуль одновременно, иначе будет выполняться равенство (4.7), означающее параллельность плоскостей, что противоречит тому, что они в пересечении определяют прямую. Уравнение пучка плоскостей является уравнением первого порядка, т. е. уравнением плоскости. Очевидно, что координаты любой точки, лежащей на прямой, удовлетворяет уравнению пучка плоскостей.

Пример 10. Уравнение прямой задано общим уравнением

 

Найти уравнение плоскости, проходящей через эту прямую и параллельную прямой

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей в форме:

 

Параметр определим из условия перпендикулярности нормального вектора n и направляющего вектора a = (3;2;−3)

 

откуда и уравнение искомой плоскости