Пусть прямая задана в канонической форме
и задана некоторая плоскость
Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий вектор a(l, m, n) перпендикулярен нормальному вектору n = (A; B; C) плоскости. Отсюда получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости
(4.19)
Прямая перпендикулярна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий вектор a(l, m, n) параллелен нормальному вектору n = (A; B; C) плоскости. Отсюда получаем условие параллельности прямой и плоскости
(4.20)
Пусть прямая не перпендикулярна плоскости. Под углом между прямой L и плоскостью будем понимать угол φ между прямой L и ее проекцией на плоскость a (рис. 38). Обозначим через q угол (острый или тупой) между векторами a(l, m, n) и n(A, B, C). Тогда в общем случае
(4.21)
a |
q |
j |
а |
n |
L |
Рис. 38. |
Пример 11.Пусть задана прямая и плоскость: .
Найти угол φ между прямой и плоскостью.
Решение. По формуле (4.21) находим
Пример 12.Пусть заданы прямые
Найти уравнение плоскости, параллельной прямым и проходящей через точку М (1;2; 0).
Решение. По формуле (4.19) находим условия, которым удовлетворяет нормаль плоскости n(A, B, C)
Положим, к примеру A = 1, тогда С = 3/5, B = −4/15. По формуле (4.2) получаем уравнение плоскости
или
Пример 13. Пусть задана прямая Найти уравнение плоскости, перпендикулярной прямой и проходящей через точку М (1;−2; 2).
Решение. По формуле (4.20) находим условие, которому удовлетворяет нормаль плоскости n(A, B, C)
Положим, к примеру, A = 4, тогда B = 1, C = 2. По формуле (4.2) получаем уравнение плоскости
или