Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца вектора, т.е. упорядоченной системой чисел. В векторной алгебре определены операции сложения векторов и умножения на скаляр независимо от выбора системы координат.
Приведём аксиоматическое определение линейного (векторного или аффинного пространства).
Определение. Пусть дано множество V; его элементы будут обозначаться малыми латинскими буквами: a,b,c,…. Пусть, далее, в множестве V однозначно определены операция сложения и операция умножения на действительное число. Элементы множества V будут называться векторами, а само V – действительным линейным пространством, если указанные операции обладают следующими свойствами:
1. Сложение коммутативно, a + b = b + a.
2. Сложение ассоциативно, (a + b) + с = a + (b +с).
3. В V существует нулевой элемент 0, удовлетворяющий условию: a + 0 = a для всех a из V.
4. Для всякого элемента a из V существует противоположный элемент – a, удовлетворяющий условию a + (− a) = 0.
5. для любого действительного числа .
6. для любых действительных чисел и
7. для любых действительных чисел и
8. для действительного числа 1.
Пример 1. Покажем, что множество многочленов порядка не выше n образует линейное пространство. Сумма двух таких многочленов и произведение многочлена на действительное число есть многочлен порядка не выше n. В качестве нулевого вектора берется многочлен нулевого порядка, равный нулю, в качестве противоположного вектора − многочлен с противоположными коэффициентами. Очевидно, что выполняются остальные алгебраические условия 1−8.
Пример 2. Покажем, что линейным пространством будет множество всевозможных действительных функций действительного аргумента. Если сложение функций и их умножение на число понимать так, как это принято в теории функций, т.е. как сложение или умножение на число значений функции при каждом значении независимого переменного, то, очевидно, сумма двух функций и произведение функции на действительное число есть функция. В качестве нулевого вектора берется функция, равная нулю, в качестве противоположного вектора – противоположная функция. Очевидно, что в теории функций выполняются остальные условия 1−8.
В определении линейного пространства указываются только свойства операций над векторами, но ничего не говорится о свойствах самих векторов. Может случиться, что хотя векторы некоторых двух данных линейных пространств по своей природе различны, однако с точки зрения свойств операций эти два линейных пространства неразличимы.
Определение. Два действительные линейные пространства V и V¢ называются изоморфными, если между его векторами установлено взаимно однозначное соответствие, если при этом соответствии образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов,
(6.1)
и образом произведения вектора на число служит произведение образа этого вектора на то же число,
(6.2)
Пример 3. Покажем, что множество многочленов порядка не выше n изоморфно пространству строк длины n. Каждому многочлену поставим в соответствие строку , составленную из коэффициентов многочлена, и обратно. Указанное соответствие удовлетворяют условиям изоморфизма (6.1) и (6.2), так как
Определение. Линейное пространство V называется конечномерным, если в нем можно найти конечную максимальную линейно независимую систему векторов; всякая такая система будет называться базисом пространства V.
Пусть линейное пространство V обладает базисом
cостоящим из n векторов. Если a – произвольный вектор из V, то из максимальной независимости векторов базиса следует, что a линейно выражается в виде линейной комбинации через векторы базиса:
Всякому вектору a однозначно соответствует строка
Таким образом, имеет место следующая теорема:
Теорема 6.1. Всякое линейное пространство, обладающее базисом из nвекторов, изоморфно n-мерному векторному пространству строк.
Пусть в n-мерном векторном пространстве заданы два базиса
(6.3)
(6.4)
Каждый вектор базиса (6.4), однозначно записывается через базис (6.3)
(6.5)
Матрица
называется матрицей перехода от базиса (6.3) к базису (6.4).
В матричной форме (6.5) принимает вид
где − вектор-столбец, состоящий из векторов базиса.
С другой стороны, если
(6.6)
с матрицей перехода от базиса (6.4) к базису (6.3), то
откуда
,
Из последних равенств можно сделать вывод, что матрица перехода от одной базы линейного пространства к другой является невырожденной.
Найдем связь между строками координат произвольного вектора a в разных базах (6.3), (6.4). Пусть
(6.7)
Используя (6.5), получаем:
Сопоставляя с первым соотношением (6.7), получаем:
,
т. е. в развернутом виде имеем матричное равенство
. (6.8)
Из (6.8) следует
(6.9)
Пример 4. Пусть вектор a в базисе e имеет разложение:
Найти разложение вектора в базисе
Решение.Матрицей перехода служит матрица
,
откуда
.
По формуле (6.9) получаем:
т. е.