Характеристические корни и собственные значения

Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единич­ная матрица порядка n, называется характеристической матрицей матрицы А. Определитель характеристической матрицы

 

будет многочленом степени n относительно .

Определение. Многочлен n-й степени называется ха­рактеристическим многочленом матрицы A, а его корни называются харак­теристическими корнями этой матрицы.

Покажем, что подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами.

Пусть тогда

 

Из этого результата вытекает, что хотя линейное преобразование в разных базисах может задаваться различными матрицами, однако все эти матрицы имеют один и тот же набор характеристических чисел.

Определение. Пусть в линейном действительном простран­ствеV_n задано линейное преобразование L. Если вектор b, отличный от нуля, переводится преобразованием L в пропорциональный вектор,

 

где − некоторое действительное число, то вектор b называется собственным вектором преобразования L, а число − собственным значением этого преобразования.

Пусть собственный вектор b

 

соответствует собственному значению с матрицей преобразования А.

Тогда из (6.11) находим:

 

Откуда

 

Система линейных однородных уравнений

(6.13)

обладает ненулевым решением, поэтому ее определитель равен нулю. Транспонируя матрицу определителя, получаем

.

Собственное значение на самом деле оказалось характеристическим корнем матрицы А.

Систему (6.13) для определения координат собственного вектора b можно представить в более компактной форме

(6.14)

Во многих приложениях необходимо знать, может ли данное линейное преобразование в некоторой базе иметь диагональную матрицу.

Пусть А − такое преобразование, а e₁,e_{2, …},e_n− его линейно независи­мые собственные векторы, т. е.

 

Примем e₁,e_{2, …},e_n за базис, тогда матрица преобразования А в этом базисе имеет вид

 

Имеет место теорема.

Теорема 6.2. Матрица линейного преобразования Lбудет диагональ­ной, тогда и только тогда, если все векторы базиса являются собствен­ными векторами преобразованияL.

Отметим, что собственные векторы, линейного преобразования, относящиеся к различным собственным значениям, составляют линейно независимую систему.

Говорят, что линейное преобразование L действительного линейного пространства V_n имеет простой спектр, если все его характеристические корни действительны и различны. Приведём следующий важный результат:

Всякая матрица линейного преобразования с простым спектром подобна диагональной матрице.

Пример 5.Найти собственные значения и собственные вектора линей­ного преобразования трехмерного пространства с матрицей A

 

Решение. Составим характеристический многочлен матрицы А и найдем его корни.

 

 

Характеристические корни: ,

Найдем собственный вектор, соответствующий , из системы (6.14):

 

Ранг матрицы коэффициентов равен двум, поэтому система

 

имеет бесконечно много решений.

Решение системы: , если положить то . Получили собственный вектор

Найдем собственный вектор, соответствующий , из системы (6.14):

 

Система

 

имеет бесконечно много решений.

Решение системы: если положить то . Получили собственный вектор

Найдем собственный вектор, соответствующий , из системы (6.14):

 

Система

 

имеет бесконечно много решений.

Решение системы: если положить то . Получили собственный вектор

Отметим, что все собственные векторы линейно независимы, так как характеристические корни являются действительными и различными.