Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения
(7.3)
Данное условие можно заменить условием сохранения длины вектора
(7.4)
Повороты обыкновенного трехмерного пространства около начала координат, зеркальные отображения этого пространства относительно какой-нибудь плоскости, проходящей через начало координат, являются примерами ортогональных преобразований.
Теорема7.1. При ортогональном преобразовании евклидова пространства образы всех векторов любого ортонормированного базиса сам составляет ортонормированный базис. Обратно, если линейное преобразование евклидова пространства переводит хотя бы один ортонормированный базис снова в ортонормированный базис, то это преобразование ортогонально.
Доказательство. Пусть U − ортогональное преобразование пространства En, а e1,…, en− произвольный ортонормированный базис. Ввиду (7.3)
при
Обратно, пусть U − линейное преобразование евклидова пространства En и переводит произвольный ортонормированный базис e1,…, en в ортонормированный базис. Если
то
т. е. вектор Uaимеет в базисе Ueте же координаты, что и произвольный вектор aв базисе e. Эти оба базиса являются ортонормированными и поэтому скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат
а, значит, преобразование Uсохраняет длину вектора и потому является ортогональным.
Определение. Матрица Q, для которой транспонированная матрица совпадает с обратной матрицей, называется ортогональной.
(7.5)
Очевидно,
(7.6)
тогда, переходя к определителям, получаем
Из равенства (7.6) следует, что квадратная матрица тогда и только тогда будет ортогональной, если сумма квадратов всех элементов ее строки равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов любых двух ее различных строк равна нулю.
Теорема 7.2. Матрица перехода от ортонормированного базиса евклидова пространства En к любому его ортонормированному базису является ортогональной.
Доказательство. Пусть, Q(qij) − матрица перехода от ортонормированного базиса eк ортонормированному базису e/,
В развернутой форме:
.
Из свойств ортонормированного базиса следует
Получили, что сумма квадратов элементов любой строки матрицы Q равна единице, а произведение соответствующих элементов разных строк равно нулю, т.е. матрица Q – ортогональна.
Из теорем 7.1 и 7.2 следует, что ортогональное преобразование евклидова пространства в любой ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей. Обратно, если линейное преобразование хотя бы в одном ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей, то это преобразование ортогонально.
Пусть матрица Q – ортогональна. Тогда и обратная матрица Q-1 является ортогональной. Действительно,
Пусть матрицы Q, R – ортогональные матрицы. Тогда и произведение матриц QR является ортогональной матрицей. Действительно,