Понятие обратной матрицы

 

Основные понятия

Пусть А - квадратная матрица n-го порядка

.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель det A не равен нулю. В противном случае (det A = 0) матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

,

где A_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij данной матрицы А (определяется так же, как и алгебраическое дополнение определителя).

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Теорема 1.1 Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Доказательство. Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка.

det A ¹ 0.

Найдем произведение матрицы А и союзной матрицы А^*, используя свойства 7 и 8 определителя

 

 

 

т. е.

А×А* = det A×E.

(1.1)

Аналогично можно проверить, что

А*×А = det A×E.

(1.2)

Равенства (1.1) и (1.2) запишем в виде

и

Сравнивая полученные результаты с определением обратной матрицы, получаем

 

Замечание. Если определитель матрицы А равен нулю (det A = 0), то обратная матрица не существует.

Свойства обратной матрицы

1.

2. (A×B)^-1 = B^-1×A^-1;

3. (A^-1)^T = (A^T)^-1.

Пример 10. 1) Найти A^-1, если .

Решение. Находим det A: , значит обратная матрица существует.

Находим союзную матрицу А^*: А₁₁ = 1, А₂₁ = -2, А₁₂ = -3, А₂₂ = -1,

.

Находим А^-1

 

Выполним проверку

 

2) Проверить являются ли матрицы А и В обратными

, .

Решение. Проверим условие А×В = Е