Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т. е. r совпадает с меньшим из чисел m или n (0 £ r £ min(m; n)).
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается r, r(A) или rang A.
Из определения следует: а) ранг матрицы Am´n не превосходит наименьшего из ее размеров, т. е. r(A) £ min(m; n);
б) r(A) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т. е. А = 0;
в) для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А невырожденная.
Общим свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.
Т. к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример11. Определить ранг матрицы.
~ ~ ,
r(A) = 2.
Пример12. Определить ранг матрицы.
~ ~ ~ ,
r(A) = 2.
Пример13. Определить ранг матрицы.
~ ,
Þ r(A) = 2.
Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.
Теорема 1.2. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.
Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.
Если А - квадратная матрица и det A = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости строк, когда определитель равен нулю.