Исследование систем линейных уравнений

Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m урав­нений и n неизвестных, называется система вида

(1.3)

где числа a_ij, , называются коэффициентами системы, числа b_i - свободными членами, числа x_n - неизвестные, подлежащие определению.

Систему уравнений можно записать в компактной матричной форме

A×X = B,

(1.4)

где A = - матрица коэффициентов системы;

X = - вектор-столбец из неизвестных x_j;

B = - вектор-столбец из свободных членов b_i.

Произведение A×X имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы Х.

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

.

Решением системы называется n значений неизвестных x₁ = c₁, x₂ = c₂, …, x_n = c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему - означает выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Теорема о базисном миноре позволяет дать простое и эффективное условие совместности системы линейных уравнений вида (1.3), носящее название теоремы Кронекера – Капелли (Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик).

Теорема1.3. (условие совместности системы). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы

r(A) = .

Очевидно, что система (1.3) может быть записана в виде

x₁ + x₂ + … + x_n .

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т. е. переход А ® не изменяют ранга.

2) Если r(A) = , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов при этом есть линейная комбинация столбцов базисного минора.

Для совместных систем линейных уравнений имеют место следующие теоремы.

Теорема1.4. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, т. е. r = n, то система (1.3) имеет единственное решение.

Теорема1.5. Если ранг совместной системы меньше числа неизвест­ных, т. е. r < n, то система (1.3) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

В случае r < n, r переменных x₁, x₂, …, x_r называются основными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т. е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n - r переменных называются неосновными (или свободными).

Пример14. Исследовать на совместность систему

 

Решение.

, r(A) = 1,

 

, .

 

Таким образом, , следовательно, система несовместна.

Пример15. Исследовать на совместность систему

 

Решение.

A =

~ . , r(A) = 2.

,

Таким образом, , следовательно, система несовместна.

Пример16. Решить систему

Решение.

.

Можно заметить, что третья строка матрицы является линейной комбинацией первых двух строк, поэтому берем первые два уравнения

 

 

 

значит неизвестные x₁, x₂ являются базисными, остальные переменные х₃, х₄ - свободные. Выразим базисные переменные через свободные

 

следовательно, х₂ = (-3 + 3х₃ - 6х₄), х₁ = (1 - х₃ + 2х₄) - общее решение. Положив, например, х₃ = 0, х₄ = 0, получаем одно из частных решений: х₁ = , х₂ = .

Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера. Матричный способ.

Данные методы применимы только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т. е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не рав­нялся нулю det A ¹ 0.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

 

Систему уравнений можно записать в матричной форме (1.4).

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель такой матрицы

 

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы в случае .

Сделаем следующее преобразование: A^-1×A×X = A^-1×B, т. к. А^-1×А = Е, то Е×Х = А^-1×В или

Х = А-1×В.

(1.5)

Отыскание решения системы по формуле (1.5) называется матричным способом решения.

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при ре­шении систем высокого порядка.

Пример17. Решить систему уравнений матричным способом

 

Решение.

Х = , B = , A = .

Т. к. , то данная система имеет единственное решение. Найдем обратную матрицу А^-1.

M₁₁ = = -16; M₂₁ = = -9; M₃₁ = = 11;

M₁₂ = M₂₂ = M₃₂ =

M₁₃ = M₂₃ = M₃₃ =

A^-1 = .

Сделаем проверку:

.

Находим матрицу Х

Х = = А^-1В = × =

Значит, решения системы: x = 1; y = 1; z = 1.

Матричное равенство (1.5) запишем в виде

 

или

 

Но есть разложение определителя

 

по элементам первого столбца. Определитель получается из определителя D путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично: где получен из D путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; …,

Формулы

(1.6)

называются формулами Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик).

Пример18. Решить систему по формулам Крамера

 

Решение.

, , .

Значит,

, .

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений

 

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система сводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду. Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

 

где k £ n, d_ii ¹ 0, . Коэффициенты d_ii называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из ступенчатой системы.

К элементарным преобразованиям системы уравнений относятся следующие преобразования

1°. Перестановка уравнений местами;

2°. Перестановка слагаемых местами;

3°.Умножение обеих частей любого уравнения на любое число, отличное от нуля;

4°. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

Ступенчатая система получена с помощью элементарных преобразований системы следующим образом:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0 (если a₁₁ = 0, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х₁ отличен от нуля), затем

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения;

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т. д.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т. д.

Пример19. Решить систему методом Гаусса

 

Решение. Составим расширенную матрицу системы

.

-2

-2

Приведем матрицу к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса) с помощью эквивалентных преобразований. Необходимо на первом этапе, чтобы а₁₁ ¹ 0, но удобнее для вычислений, чтобы а₁₁ = 1, поэтому поменяем местами первую и вторую строки

 

-4

-19

: (-29)

 

 

 

 

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Соответству­ющая система имеет вид

 

Далее последовательно определяем неизвестные

 

Итак, х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3, х₄ = 4 или (1; 2; 3; 4).

 

Системы линейных однородных уравнений

Система (1.3) называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю

(1.7)

Очевидно, что однородная система всегда совместна (r(A) = r( )), она имеет нулевое (тривиальное) решение х₁ = х₂ = … = х_n = 0.

Теорема1.6. Для того чтобы система однородных уравнений имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основ­ной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r < n.

Доказательство. Необходимость. Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то r £ n. Пусть r = n. Тогда один из миноров M_n´n ¹ 0. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: , D_i = 0, D ¹ 0. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r < n.

Достаточность. Пусть r < n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной, т. е. имеет и ненулевые решения.

Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными

 

Теорема 1.7. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и дос­таточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D = 0.

Пример 20. Решить однородную систему

 

Решение.

, , r(A) = 2.

Т. к. r < n, то система имеет бесконечное множество решений. Переменные х₁ и х₂ являются базисными, переменная х₃ - свободная.

 

.

Итак, , Полагая х₃ = с (с - const), получим - общее решение системы.

фундаментальная система?(нужно)