Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства

Определение 1. -мерным аффинным пространством над полем называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. Существует по меньшей мере одна точка¹⁾.

2. Каждой паре точек , заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор, который обозначается через .

3. Для каждой точки и каждого вектора существует одна и только одна точка такая, что ²⁾.

4. (Аксиома параллелограмма.) Если , то .

5. Каждому вектору и каждому числу поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается и называется произведением вектора на число .

6. для любого вектора .

7. для всех .

8. для любых векторов .

9. для всех .

10. Существует линейно независимых векторов, но любые векторов линейно зависимы между собой.

Пример 1. Трехмерное пространство является аффинным пространством, где точками служат упорядоченные тройки чисел .