Линейная зависимость

Определение 3. Набор элементов модуля называется линейно независимым⁶⁾ над , если из равенства нулю линейной комбинации следует, что для всех . Если же существует соотношение , в котором не все равны нулю, элементы из называют линейно зависимыми⁷⁾.

Если в качестве модуля взять векторное пространство и рассматривать конечные наборы , то определение линейной зависимости может быть переформулировано следующим образом:

Определение 3'. Система векторов пространства называется линейно зависимой⁸⁾, если найдутся числа , не равные нулю одновременно и такие, что . В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Пример 4. Если множество содержит нулевой элемент, то оно линейно зависимо.

Предложение 2. Пусть — векторное пространство над полем . Имеют место следующие утверждения:

1. система векторов с линейно зависимой подсистемой линейно зависима,

2. любая часть линейно независимой системы векторов линейно независима,

3. среди линейно зависимых векторов хотя бы один является линейной комбинацией остальных,

4. если один из векторов выражается через остальные, то векторы линейно зависимы,

5. если векторы линейно независимы, а — линейно зависимы, то — линейная комбинация векторов ,

6. если векторы линейно независимы и вектор нельзя через них выразить, то система линейно независима.