Определение

Определение 1. Базисом¹⁾ ненулевого векторного пространства над полем называется система векторов, которая

1. порождает ,

2. линейно независима.

Теорема 1. Ненулевое векторное пространство всегда обладает базисом. Иными словами, является свободным -модулем.

Определение 2. Размерностью²⁾ ненулевого векторного пространства называется мощность его базиса. Для нулевого векторного пространства полагают, что его размерность равна нулю. Размерность векторного пространства над полем обозначается через .

Определение 3. Говорят, что пространство конечномерно³⁾, если или базис состоит из конечного числа векторов. В противном случае говорят, что бесконечномерно⁴⁾.

Пример 1. Поле действительных чисел является бесконечномерным векторным пространством над полем рациональных чисел .

Пример 2. Поле комплексных чисел является двумерным вещественным векторным пространством⁵⁾.

Пример 3. Произвольное поле является одномерным векторным пространством над собой с базисом .

Предложение 1. Для конечномерного векторного пространства набор векторов является базисом, если каждый вектор единственным образом представляется в виде .

Определение 3. Пусть — базис , и . Скаляры называютсякоординатами⁶⁾ вектора в данном базисе.

Пример 4. Пусть — поле, и — -мерное координатное пространство. Векторы составляют базис .

Предложение 2. В конечномерном векторном пространстве число векторов базиса не зависит от выбора базиса.