Определение
Определение 1. Пусть 
и 
— конечномерныевекторные пространства над полем 
сбазисами 
и 
соответственно. Рассмотрим линейное отображение 
. Тогда 
можно представить в виде 
для некоторых 
. Матрица 
называется матрицей линейного отображения1) в базисах и . Столбцами этой матрицы являются координаты векторов в базисе .
Пусть произвольный вектор 
имеет следующие координаты в разложении по базису , 
, тогда его образ 
из пространства в базисе имеет разложение 
, где 
. То есть
.
Предложение 1. Существует взаимно однозначное отображение между множеством всех линейных отображений из 
-мерного векторного пространства в 
-мерное векторное пространство с фиксированными базисами и множеством матриц размера 
.
Определение 2. Матрица линейного оператора2) — это матрица линейного отображения в случае, когда 
.
Пример 1. Пусть — базис -мерного векторного пространства 
. Рассмотрим тождественный3) линейный оператор
. Так как 
, то матрица 
— это в точности единичная матрица
.
Предложение 2. Пусть 
— конечномерные векторные пространства, 
и 
— линейные отображения. Тогда 
.
Умножением двух линейных операторов 
и 
на пространстве будем считать их композицию: 
. Тогда справедливо
Предложение 3. Пространство линейных операторов 
является ассоциативнойалгеброй над полем . В случае, если пространство конечномерно, алгебра изоморфна алгебре всех матриц порядка над полем . Изоморфизм задается отображением 
.