Определение

Пусть — (левый) модуль над ассоциативным кольцом и — подмножество в .

Определение 1. Модуль называется конечно порожденным¹⁾, или модулем конечного типа, если он имеет конечное числообразующих.

Определение 2. Модуль, порожденный единственным элементом , записывается в виде ²⁾ и называется главным модулем³⁾.

Определение 3. Множество называется базисом⁴⁾ модуля , если не пусто, порождает и линейно независимо.

Предложение 1. Если — базис модуля , то каждый элемент из единственным образом образом представляется в виде линейной комбинации элементов из .

Определение 4. Под свободным модулем⁵⁾ понимается модуль, обладающий базисом, или же нулевой модуль.

Определение 5. Размерностью⁶⁾ свободного модуля над кольцом называется мощность его базиса.

Пример 1. Пусть — ассоциативное кольцо с единицей, тогда является конечно порожденным модулем над собой, а его базис состоит из одного элемента . Таким образом, — главный модуль над собой.

Пример 2. Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей порождено (как модуль над ) бесконечным множеством линейно независимым над .

Пример3. Пусть — непустое множество, и для каждого пусть , где — ассоциативное кольцо с единицей, и все рассматриваются как -модули. Положим . Модуль обладает базисом, состоящим из элементов в , -й компонентой которых является единичный элемент из , а все другие компоненты равны нулю.