Определение 1. Пусть — векторное пространство над полем или . Билинейная форма называется скалярным произведением1), если выполнены условия:
1. Симметричность: для всех ;
2. Положительная определенность: для всех , и обращается в нуль, лишь если .
Часто для скалярного произведения векторов и вместо используют обозначение или .
Пример 1. На пространстве непрерывных функций можно задать скалярное произведение .
Пример 2. На пространстве скалярное произведение задается формулой: , где и — разложение векторов по стандартному базису .