Структурные средние величины
Для характеристики структуры совокупности применяются структурные средние: мода и медиана.
Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся или типичное значение признака, т.е. то значение варианты, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения вариационного ряда. Мода часто используется при изучении покупательского спроса.
В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном ряду мода – центральный вариант модального интервала, то есть того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала находят значение признака, которое является модой по формуле
,
где: 
– нижняя граница модального интервала; 
– величина модального интервала; 
– частота, соответствующая модальному интервалу; 
– частота, предшествующая модальной; 
– частота интервала, следующего за модальным.
Пример 3. Дан дискретный ряд распределения купленных пар обуви
| Размер обуви | |||||||
| Число купленных пар | 88 Мо |
Определим значение моды. Варианта с наибольшей частотой равна 88. Этой частоте соответствует варианта, значение которой Мо = 37 размер.
Пример 4. Дан интервальный ряд распределения числа рабочих по стажу работы.
|
|
Модальным интервалом является интервал 6-8 соответствующий наибольшей частоте равной 35. Значение моды находится внутри этого интервала.
лет.
Медиана (Ме) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.
– для четного ряда.
Для ранжированного ряда с нечетным числом членовмедианой является варианта, расположенная в центре ряда.
Для ранжированного ряда с четным числом членов ряда медианой будет среднее арифметическое из двух смежных вариант.
В интервальном ряде
где: 
– нижняя граница медианного интервала; 
– величина медианного интервала; 
– полусумма частот ряда; 
– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; 
– число наблюдений (частота) медианного интервала.
Свойство медианы: сумма абсолютных отклонений членов ряда от медианы минимальна 
.
Пример 5. Имеются данные о расположении магазинов от базы. Вычислить отклонения от среднего и медианных значений.
| № | Расположение магазина от базы, км (х) | Отклонение от
среднего значения,
| Отклонение от медианного значения,
|
| Итого |
Среднее значение 
км. Медианой нечетного ряда является центральный вариант, находящийся на 3-ем месте, равный Ме = 4 км.
Пример 6. Рассчитать среднюю заработную плату в целом по трем предприятиям в зависимости от имеющихся данных
| Предприятие | Численность
персонала,
чел. 
| Месячный ФЗП,
тыс. руб., 
| Средняя
заработная
плата, 
|
| А | |||
| 564,84 332,75 517,54 | |||
| Итого | 1415,13 |
Среднюю заработную плату рассчитаем разными способами в зависимости от того, какие данные нам будут известны.
1. Если имеются данные групп 1 и 2, формула средней агрегатной
руб.,
где: 
; – вариант определяемого признака; – вес i-го варианта.
2. Если есть данные групп 1 и 3, то общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной
руб.
3. Если имеются данные 3 группы, а частоты равны между собой или отсутствуют, то используются формула средней арифметической простой
руб.
4. Если имеются данные групп 2 и 3, то расчет ведется по средней гармонической взвешенной
руб.
Задача 1. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих участка. Определить среднюю заработную плату рабочих участка.
| Профессия | Количество рабочих | Заработная плата каждого рабочего участка за месяц, руб. |
| Токари Фрезеровщики Слесари | 1700, 1208, 917, 1620, 1400 1810, 1550 1210, 1380, 870 |
Решение. Воспользуемся формулой простой средней арифметической
Задача 2. Распределение рабочих по стажу работы следующее. Определить средний стаж работы рабочих участка.
| Стаж рабочих, лет | до 5 лет | 5 - 10 | 10 - 15 | 15 и более |
| Количество рабочих, f | ||||
| Серединное значение интервала, x | 2,5 | 7,5 | 12,5 | 17,5 |
Решение. Воспользуемся формулой расчета средней арифметической взвешенной для интервального ряда. Предварительно вычислим серединное значение интервального признака х, дополнив открытые интервалы значениями недостающих границ:
Средний стаж рабочих участка
лет
Задача 3. Имеются следующие данные об экспорте продукции металлургического комбината. Определить средний удельный вес продукции на экспорт.
| Вид продукции | Удельный вес Продукции на экспорт, % х | Стоимость продукции на экспорт, тыс. руб. w |
| Сталь арматурная Прокат листовой |
Решение. Уд. вес прод. наэкспорт
,
или 
– стоимость всей продукции. Воспользуемся формулой средней гармонической взвешенной. Средний удельный вес продукции на экспорт
Задача 4. Проведена малая выборка из партии электролампочек для определения продолжительности их службы. Определить значения моды и медианы.
| № лампочки | Срок горения, час. |
Произведем ранжирование данных по возрастанию 1270; 1370; 1380; 1400; 1400; 1400; 1420; 1430; 1450. Мода Мо = 1400, так как это значение признака встречается три раза.
Место медианы 
. Me = 1400 – значение признака на 5-ом месте в ранжированном ряду.
Задача 5. Перевозка грузов по автотранспортному предприятию такова. Определить среднемесячный темп роста объема грузовых перевозок.
| Месяц | Январь | Февраль | Март |
| Перевезено грузов, тыс. т | 37,0 | 40,5 | 42,0 |
Решение. Определим цепные коэффициенты роста объема грузовых перевозок
.
Среднемесячный темп роста определим по формуле средней геометрической
Задача 6. Имеются следующие данные о товарообороте магазина. Определить среднюю цену мужского костюма.
| Товары | Товарооборот, тыс. руб. w | Цена за единицу, руб. х |
| Костюм мужской, х/б Костюм мужской, п/ш Костюм мужской, ч/ш |
Решение. Применим формулу расчета средней гармонической взвешенной
