Показатель дисперсии обладает рядом математических свойств, использование которых значительно упрощает ее исчисление.
Рассмотрим некоторые из этих свойств:
1. Если все значения признака уменьшить или увеличить на какое-то постоянное число, то дисперсия от этого не изменится.
2. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
3. Если все значения признака уменьшить или увеличить в «А» раз, то дисперсия уменьшится или увеличится в «А» раз.
4. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака х от их средней величины меньше суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от любого данного числа «а», при условии, что а ≠ , то есть
Способы расчета дисперсии:
1. Дисперсия есть средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины: ;
2. Дисперсия есть разность между средней из квадратов значений признака и квадратом их средней:
где
Рассмотрим применение этих формул на примере. Распределение рабочих по тарифным разрядам:
Тарифный разряд 2 3 4 5 6
Число рабочих 1 2 6 8 3
Представим расчет дисперсии в табл. 19.
Таблица 19
Распределение рабочих по тарифному разряду
Тарифный разряд (х) | Число рабочих (f) | |||||
Итого | - 2,5 - 1,5 - 0,5 0,5 1,5 - | 6,25 2,25 0,25 0,25 2,25 - | 6,25 4,5 1,5 6,75 21,0 |
Средний тарифный разряд: разряда.
Дисперсия (1-й способ):
Дисперсия (2-й способ):
3. Для интервальных рядов распределения дисперсия может быть исчислена способом моментов:
где i – величина интервала;
m1 – условный момент первого порядка;
m2 – условный момент второго порядка.
где А – постоянная величина, от которой определяются отклонения (за нее обычно берут значение варианта (х) с наибольшей частотой (f).
Для расчета средней величины способом моментов используют формулу:
Определим дисперсию способом моментов, представив условие и расчеты в табл. 20.
Таблица 20
Расчет дисперсии способом моментов
Межремонтный пробег автомобилей, тыс. км | Число автомобилей | х | х – А = = х - 130 | ||||
80 – 100 100 – 120 120 – 140 140 - 160 Итого | - | - 40 - 20 + 20 - | - 2 - 1 + 1 - | - 10 - 30 + 15 - 25 | - |
4. При измерении вариации альтернативного признака дисперсию рассчитывают как:
где p – доля единиц совокупности, обладающих данным признаком;
q – доля единиц, не обладающих этим признаком.
Если обозначить наличие интересующего нас признака через «1», а его отсутствие через «0», то можно записать:
так как 1 – р = q.
Следовательно, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих изучаемым признаком, на долю единиц, им не обладающих.
Например, если известно из 100 обследованных деталей 5 деталей оказались бракованными, то дисперсия альтернативного признака (наличие брака) составит: σ2 = 0,05 х 0,95= = 0,0475.
Следует отметить, что при исчислении дисперсии в интервальных рядах распределения действительные значения признака заменяются центральными значениями интервалов. Это приводит к появлению систематической погрешности в расчете дисперсии. Поэтому возможно исчисление скорректированной дисперсии
Такая поправка применяется, если: 1) распределение относится к признаку с непрерывным характером распределения; 2) построено по большому количеству исходных данных (n > 500).