Виды средних величин и методы их расчета
На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.
Используются две категории средних величин: степенные средние; структурные средние.
Первая категория степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднююквадратическую и среднююгеометрическую.
Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.
Введем следующие условные обозначения:
- величины, для которых исчисляется средняя;
- средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место
осреднение индивидуальных значений;
- частота (повторяемость индивидуальных значений признака);
n - численность совокупности.
Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:
при k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая;
k = 1 - средняя арифметическая; k = 2 - средняя квадратическая.
Чем выше показатели степени k, тем больше значения средней величины (если индивидуальные значения признака варьируют).
Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности: 
.
Определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:
.
Для каждого показателя, используемого в социально-экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней.
Однако в зависимости от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета, зависит, каким именно образом будет реализовываться ИСС. В каждом конкретном случае для реализации исходных соотношений потребуется средняя одного из перечисленных видов.
Средняя арифметическая.
Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.
. (1)
Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы.
Пример. Семь членов бригады имеют следующий стаж работы:
| Табельный номер рабочего | |||||||
| Стаж (лет) |
Найти средний стаж работников бригады.
Решение. В соответствии с зависимостью (1) имеем
.
Таким образом, средний стаж работы членов бригады равен 8 годам.
Определяющими показателями в примере являются стаж каждого работника и число работников бригады. При вычислении средней общая сумма отработанных лет осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну.
Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе, в виде средней арифметической взвешенной:
. (2)
Так, пусть нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:
1 - 800 ак. - 1010 руб. 2 - 650 ак. - 990 руб. 3 - 700 ак. - 1015 руб.
4 - 550 ак. - 900 руб. 5 - 850 ак. - 1150 руб.
Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):
ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;
КПА = 800+650+700+550+850=3550.
В этом случае средний курс стоимости акций равен
(руб).
Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.
Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.
Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.
Свойство третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.
Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства, которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:
1. Если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
2. Средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;
3. Если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.