Степенные средние

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя вычисляется по несгруппированным данным и имеет следующий вид:

где х_i – значение признака для единицы совокупности i,

m – показатель степени средней,

n – число единиц совокупности.

Взвешенная средняя вычисляется по сгруппированным данным и имеет вид:

,

где х_i – значение признака для единицы совокупности i,

m – показатель степени средней,

f_i– частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение признака.

Формулы расчета степенных средних имеют общий показатель степени m. В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

1. Средняя арифметическая (m=1) – наиболее распространенный вид средней.

простая взвешенная

Примечание. Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд. При этом величины открытых интервалов условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним.

Свойства средней арифметической:

а) если все индивидуальные значения признака (все варианты) уменьшить или увеличить в m раз, то среднее значение соответственно уменьшится или увеличится в m раз.

б) если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

в) если частоты (веса) всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

2. Средняя гармоническая (m=-1) – является величиной обратной для средней арифметической и применяется, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение xf.

простая взвешенная

, где w = xf

3. Средняя геометрическая (m=0) – применяется для определения средней по значениям, имеющим большой разброс, либо в случаях определения средней величины по относительным показателям, например, среднегодовых темпов роста в рядах динамики, где индивидуальные значения признака представляют собой коэффициенты роста:

простая взвешенная

1. Средняя квадратическая (m=2) – применяется, когда требуется определить средний размер признака, выраженный в квадратных единицах измерения (для вычисления средней стороны квадратных участков) или при расчете среднего квадратического отклонения, являющегося одним из показателей вариации признаков:

простая взвешенная

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то их значения окажутся неодинаковыми, т. к. здесь действует правиломажорантности средних: чем больше показатель m, тем больше средняя величина:

.