ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (Часть 2. Линейные операторы. Квадратичные формы)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ЭКОНОМЕТРИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
(Часть 2. Линейные операторы. Квадратичные формы)
Направление 080100
«Экономика»
Очная форма обучения
Рязань 2013 Задание №6. Линейные операторы
1) Доказать, что соответствие 
(см. табл. 1), переводящее вектор 
в вектор 
, является линейным оператором. Найти матрицу 
этого оператора в стандартном базисе 
линейного пространства 
.
2) Описать структуру линейного оператора (образ, ранг, ядро, дефект, найти базисы образа и ядра оператора).
3) Найти матрицу 
оператора 
в новом базисе 
. Проверить выполнимость равенства определителей матриц оператора в разных базисах.
Таблица 1
| Вар | Соответствие , базис
|
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
| ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
| |
 ,
|
Задание №7.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора 
, заданного матрицей 
в некотором базисе 
линейного пространства 
(значения коэффициентов взять из табл. 2).
.
Таблица 2. Таблица значений коэффициентов 
.
| № | 
| 
| 
| № |
|
|
|
Задание №8.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
1) Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора 
, заданного матрицей (табл. 3) в некотором базисе 
;
2) Выяснить, можно ли матрицу привести к диагональному виду переходом к новому базису. Если это можно сделать, то указать новый базис.
Таблица 3
| Вар | Матрица | Вар | Матрица | Вар | Матрица |
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
|
Задание №9. Приведение квадратичной формы
К каноническому виду методом Лагранжа
1) Привести квадратичную форму 
(табл. 4) к каноническому виду 
методом Лагранжа, указать соответствующее неособенное линейное преобразование, выполнить проверку;
2) исследовать данную квадратичную форму на знакоопределенность, пользуясь критерием Сильвестра.
Таблица 4
| Вар | Квадратичная форма
|
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
Задание №10. Приведение квадратичной формы
К каноническому виду методом ортогонального преобразования
1) Привести квадратичную форму (табл. 5) к каноническому виду методом ортогонального преобразования, указать соответствующее ортогональное преобразование (матрицу 
преобразования), выполнить проверку
2) исследовать форму на знакоопределенность, пользуясь критерием Сильвестра.
Таблица 5
| Вар | Квадратичная форма
|
 
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|