ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (Часть 2. Линейные операторы. Квадратичные формы)

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

 

 

КАФЕДРА ЭКОНОМЕТРИКИ

И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

(Часть 2. Линейные операторы. Квадратичные формы)

 

 

Направление 080100

«Экономика»

 

Очная форма обучения

 

Рязань 2013 Задание №6. Линейные операторы

1) Доказать, что соответствие (см. табл. 1), переводящее вектор в вектор , является линейным оператором. Найти матрицу этого оператора в стандартном базисе линейного пространства .

2) Описать структуру линейного оператора (образ, ранг, ядро, дефект, найти базисы образа и ядра оператора).

3) Найти матрицу оператора в новом базисе . Проверить выполнимость равенства определителей матриц оператора в разных базисах.

Таблица 1

Вар	Соответствие , базис
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,

 

Задание №7.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей в некотором базисе линейного пространства (значения коэффициентов взять из табл. 2).

.

Таблица 2. Таблица значений коэффициентов .

№				№

Задание №8.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

1) Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей (табл. 3) в некотором базисе ;

2) Выяснить, можно ли матрицу привести к диагональному виду переходом к новому базису. Если это можно сделать, то указать новый базис.

Таблица 3

Вар	Матрица	Вар	Матрица	Вар	Матрица

 

Задание №9. Приведение квадратичной формы

К каноническому виду методом Лагранжа

1) Привести квадратичную форму (табл. 4) к каноническому виду методом Лагранжа, указать соответствующее неособенное линейное преобразование, выполнить проверку;

2) исследовать данную квадратичную форму на знакоопределенность, пользуясь критерием Сильвестра.

Таблица 4

Вар	Квадратичная форма

Задание №10. Приведение квадратичной формы

К каноническому виду методом ортогонального преобразования

1) Привести квадратичную форму (табл. 5) к каноническому виду методом ортогонального преобразования, указать соответствующее ортогональное преобразование (матрицу преобразования), выполнить проверку

2) исследовать форму на знакоопределенность, пользуясь критерием Сильвестра.

Таблица 5

Вар	Квадратичная форма