Пусть имеется выборочная совокупность объёма п значений некоторой случайной величины и каждому варианту из этой совокупности поставлена в соответствие его относительная частота (частность). Пусть, далее, х-некоторое действительное число, а п(х)- число выборочных значений случайной величины , меньших х.
Эмпирической функцией распределения или функцией распределения выборки называется функция , определяющая для каждого относительную частоту события . Итак, по определению
.
Пример 3.Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины Х по данным таблицы 1 из примера 1 и нарисовать её график.
Решение.Итак, нам известно распределение частот дискретной случайной величины Х – посещаемость занятий по математике студентами первого курса за один месяц.
Используя эту таблицу, находим объём выборки:
Определим значение эмпирической функции распределения для диапазона изменения значений вариант от до
Наименьшая варианта равна 0, значит при
Значения , т.е. , наблюдалось 7 раз, следовательно, при
Значения а именно: наблюдалось раз, следовательно, при
Значения а именно: наблюдалось раз, следовательно, при
Значения ,а именно: наблюдалось раз, следовательно, при
Значения а именно: наблюдалось раз, следовательно, при
Аналогично находим при Так как - наибольшая варианта, то при
В результате получаем искомую эмпирическую функцию распределения, значения которой представимы в виде таблицы.
Функцию наряду с табличным способом задания можно задать аналитически, используя формулу, по которой она определяется:
Здесь совпадает с .
В рассматриваемом примере эмпирическая функция распределения относительных частот, при округлении её значений до двух знаков после запятой, принимает вид:
Построим график функции распределения Для этого отложим по оси ОХ значения вариант, а по оси ОУ – значения функции
Рис.1
Пример 4.Построить эмпирическую функцию распределения и её график для случайной величины - отклонения напряжения от номинального по распределению.
Решение.В данном случае имеем непрерывную с.в.Х с интервальным вариационным рядом распределения вида:
Для построения выборочной функции распределения поступаем следующим образом. Из вариационного ряда следует, что для всех функция распределения равна нулю. Пусть теперь . В этом случае число не определено, так как не известно, сколько выборочных значений случайной величины Х, принадлежащих этому интервалу, меньше х. Если то Следовательно, Рассуждая аналогично, убеждаемся, что точками, в которых значения функции можно определить, являются правые концы интервалов и все точки интервала на котором Поэтому на практике достаточно найти значения статистической функции распределения в граничных точках интервалов статистического ряда. Далее, расчеты производим аналогично дискретному случаю. Используя определение функции распределения выборки, имеем:
Полученные данные для запишем в виде следующей таблицы:
| 0,060 | 0,160 | 0,353 | 0,586 | 0,799 | 0,926 | 0,979 |
На основании этой таблицы строим точечную диаграмму с координатами Так как таблица определяет функцию не полностью (не для всех х известны её значения), то при графическом изображении её доопределяем, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой (рис.2). В результате график функции будет представлять собой непрерывную линию (рис.2).
Рис.2
Пример 5.В результате испытаний случайная величина Х приняла следующие значения: 2, 4, 5, 7, 1, 10, 4, 5, 9, 6, 8, 6, 2, 3, 4, 7, 6, 8, 3, 8, 10, 6, 4, 7, 3, 9, 4, 5, 6, 4. Составить вариационный ряд и построить полигон распределения относительных частот.
Решение.Анализируя статистические данные, устанавливаем, что в выборке объёма имеется десять вариант: Их частоты
соответственно.
Вычисляем относительные частоты по формуле
Контроль:
Напишем распределение относительных частот:
Эту таблицу можно записать в виде:
| 0,03 | 0,07 | 0,10 | 0,20 | 0,10 | 0,16 | 0,10 | 0,10 | 0,07 | 0,07 |
Округление значений относительных частот следует производить таким образом, чтобы выполнялось равенство
Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладываем варианты , а на оси ординат соответствующие им относительные частоты согласно табл. 10. Полученные точки соединяем отрезками прямых. Образовавшаяся ломаная (рис.3) является полигоном распределения относительных частот.
Рис.3