Пусть изучается случайная величина Х с предполагаемыми математическим ожиданием и дисперсией
Несмещенной точечной оценкой для служит выборочная средняя:
,
где варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда; - соответствующие им частоты (веса); объем выборки.
Смещенной точечной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:
которую можно вычислять по более удобной формуле:
Несмещенной точечной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
.
Рассмотрим два случая для нахождения доверительного интервала для математического ожидания.
а) Пусть для с.в. ~ математическое ожидание т неизвестно, а дисперсия известна. По наблюдениям находим точечную оценку математического ожидания т. Зададимся вероятностью и находим такое число , чтобы выполнялось соотношение
Интервальная оценка (доверительный интервал) математического ожидания при известной дисперсии генеральной совокупности такова:
где - точность оценки, п - объем выборки, t - значение аргумента функции Лапласа, при котором выполняется равенство Ф(t)
б) Рассмотрим случай, когда для с.в. ~ неизвестны ни т, ни По выборочным данным
вычислим среднее и - несмещенная оценка неизвестной дисперсии. Задаемся доверительной вероятностью и найдем , чтобы выполнялось соотношение:
,
где находят по из решение уравнения , используя таблицы функции Лапласа по заданным и - числу степеней свободы. В результате чего, с вероятностью можно утверждать, что среднее дает значение неизвестного математического ожидания с точностью , а интервальная оценка математического ожидания (доверительный интервал) такова:
Доверительный интервал для в предположении, что математическое ожидание неизвестно. Итак, мы рассматриваем нормально распределенную с.в. Х, дисперсия и математическое ожидание т которой неизвестны. Проводим п наблюдений этой величины. По этим результатам вычисляем среднюю . За оценку среднего квадратического отклонения примем
Задаемся надежностью интервальной оценки и находим такое число , чтобы выполнялось равенство
Среднее квадратическое отклонение случайной величины всегда положительное число, поэтому разумнее находить не из предыдущего условия, а из условия
где
Введем в рассмотрение величину которая находится из справочных данных по заданным п и . Доверительным интервалом для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения по исправленному выборочному является интервал
, если ,
или , если .
Пример 8.Найти доверительный интервал для оценки параметра т (математического ожидания) с надежностью если
Решение.Воспользуемся таблицей функции Лапласа для определения значения параметра t . Доверительный интервал для математического ожидания т с известной дисперсией в этом случае будет:
Подставим среднее выборочное Окончательно получим:
Пример 9.Произведено 5 независимых опытов с.в. Х, распределенной нормально, с неизвестным параметром т и известным Результаты опытов:
Найти оценку для математического ожидания т, а также построить для него 90%-ный доверительный интервал.
Решение.Так как оценкой параметра т является выборочное среднее , то исходя из опытных данных, получим
Далее, решая уравнение получаем
Тогда доверительный интервал для т при известном будет:
или
Пример 10.Из генеральной совокупности извлечена выборка:
| -2 | ||||||
Найти доверительный интервал для математического ожидания т с надежностью при условии нормального распределения генеральной совокупности.
Решение. Вычисляем выборочное среднее с учетом того, что объем выборки
Так как параметр неизвестен, то вычисляем его оценку – исправленное среднее квадратическое отклонение:
Из табличных данных при находим Доверительный интервал для параметра т с надежностью будет
или
Пример 11.Пусть в результате измерения диаметры четырех случайно отобранных однотипных подшипников оказались равными Считая распределение диаметров подшипников нормальным, найти доверительный интервал для истинного диаметра d подшипников с доверительной вероятностью .
Решение.Найдем выборочное среднее
Вычислим исправленное среднее квадратическое отклонение:
Согласно распределения Стьюдента при трех степенях свободы и находим
Следовательно, Отсюда, искомый доверительный интервал будет
(0,25-0,13;0,25+0,13)=(0,12;0,38).
Из полученного результата следует вывод: можно утверждать, что примерно в 95% истинный диаметр подшипников находится в интервале (0,12;0,38).