Статистические методы изучения динамики

Рядами динамики называют ряды последовательно расположенных в хронологическом порядке показателей, которые характеризуют развитие явления во времени.

В каждом ряду динамики имеются два основных элемента:

1) показатель времени – t;

2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления – у.

Аналитические показатели рядов динамики:

1) Абсолютный прирост – определяется как разность двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.

Базисный абсолютный прирост исчисляется как разность между сравниваемым уровнем (y_i) и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения (y₀): .

Цепной абсолютный прирост – разность между сравниваемым уровнем (y_i), и уровнем, который ему предшествует (y_i_-1): .

Абсолютный прирост может иметь и отрицательный знак, показывающий, насколько уровень изучаемого периода ниже предыдущего или базисного.

Между базисными и цепными абсолютными приростами имеется связь: сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту последнего периода ряда динамики: .

2) Темп роста – характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

Базисные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за постоянную базу сравнения:

Цепные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень:

Если темп роста больше единицы (или 100%), то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным. Темп роста, равный единице (или 100%), показывает, что уровень изучаемого периода по сравнению с базисным не изменился. Темп роста меньше единицы (или 100%) показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным. Темп роста всегда имеет положительный знак.

Между базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста, а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста:

3) Темпы прироста – характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения.

Базисный темп прироста вычисляется делением сравниваемого базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за постоянную базу сравнения:

Цепной темп прироста – это отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню:

Если уровни ряда динамики сокращаются, то соответствующие показатели темпа прироста будут со знаком минус, так как они характеризуют относительное уменьшение прироста уровня ряда динамики.

Между показателями темпа прироста и темпа роста имеется взаимосвязь:

ТΔ (%) = Т (%) – 100 (при выражении темпа роста в процентах);

ТΔ = Т – 1 (при выражении темпа роста в коэффициентах).

4) Абсолютное значение одного процента прироста равно отношению абсолютного прироста (цепного) к темпу прироста (цепному), выраженному в процентах:

Для получения обобщающих показателей динамики социально-экономических явлений определяются средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста и др.

1) Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

В интервальных рядах динамики с равными интервалами средний уровень определяется делением суммы уровней на число уровней п:

В интервальных рядах динамики с неравными интервалами средний уровень определяется по средней арифметической взвешенной:

где t – продолжительность периода времени, за который обобщаются данные (величина интервала).

В моментном ряду динамики с равными интервалами времени между датами средний уровень определяется по формуле средней хронологической:

В моментном ряду динамики с неравными интервалами средний уровень ряда можно определить по средней арифметической взвешенной, преобразовав данный ряд в интервальный (рассчитав средние уровни в интервалах между двумя ближайшими датами).

2) Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Для определения среднего абсолютного прироста сумма цепных абсолютных приростов делится на число приростов п:

Средний абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням ряда динамики. Для этого определяется разность между конечным y_n и базисньм y₀ уровнями изучаемого периода, которая делится на n – 1 субпериодов:

3) Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. Для определения среднего темпа роста применяется формула:

где T₁, T₂, Т₃, … T_n – цепные темпы роста (в коэффициентах);

n – число цепных темпов роста.

Средний темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда динамики по формуле:

4) Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста:

(при выражении среднего темпа роста в процентах);

(при выражении среднего темпа роста в коэффициентах).

5) Среднее абсолютное значение одного процента прироста:

Методы выявления основной тенденции динамики:

- метод укрупнения интервалов;

- метод скользящей средней;

- метод аналитического выравнивания.

Метод укрупнения интервалов применяется для выявления основной тенденции развития в рядах динамики колеблющихся уровней, скрывающих основное направление развития.

Сущность метода заключается в преобразовании первоначального ряда динамики в ряды с более продолжительными периодами (месячные в квартальные, квартальные в годовые). После укрупнения интервалов основная тенденция в рядах динамики становится более очевидной.

Метод скользящей средней применяется для сглаживания рядов динамики и заключается в определении по исходным данным теоретических средних уровней, в которых случайные колебания погашаются, а основная тенденция развития выражается в виде некоторой плавной линии.

Расчет теоретических средних уровней:

и т.д.

где n – интервал (число звеньев, по которым рассчитываются средние теоретические уровни ряда).

Метод аналитического выравнивания – нахождение плавной линии развития явления (тренда), характеризующей основную тенденцию его динамики. Таким образом, основная тенденция развития у_t рассчитывается как функция времени: .

Определение теоретических (расчетных) уровней у_t производится на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает тенденцию ряда динамики.

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

1-й степени – ;

2-й степени – ;

3-й степени – ;

n-й степени – ,

где a₀, a₁, a₂, …, a_n – параметры полиномов;

t – условное обозначение времени.

Для вычисления оптимальных значений параметров тренда исходя из фактических уровней используют метод наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда от выровненных уровней (от тренда):

Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решив которую вычисляют параметры тренда. Например, для линейного типа тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

где y – уровни исходного ряда динамики,

t – номера периодов или моментов времени,

n – число уровней ряда.

Для упрощения расчетов можно перенести начало отсчета времени t в середину ряда, тогда St = 0 и система нормальных уравнений примет вид:

отсюда , .

Параметры a₀ и a₁ можно исчислить иначе с помощью определителей:

; .

Сезонными колебаниями называются более или менее устойчивые внутригодовые колебания в рядах динамики, обусловленные специфическими условиями производства или потребления данного товара.

Сезонные колебания характеризуются индексами сезонности (I_s):

для одного года ;

для нескольких лет ,

где – отдельные уровни ряда по месяцам;

– постоянная средняя (за год или за несколько лет);

– средний уровень для каждого месяца.