Виды степенных средних

Вид средней	Область применения	Формула расчета
простая	взвешенная
Арифметическая	Применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных ее единиц
Гармоническая	Применяется в тех случаях, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (объемный признак): M = xf
Квадратическая	Применяется, как правило, для расчета средней величины отклонений (показатели вариации, стандартные ошибки регрессии, прогнозирования)
Геометрическая	Применяется при исчислении средней из относительных величин (средний темп роста)
Хронологическая	Применяется при расчете среднего значения моментного динамического ряда

 

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана, которые в отличие от степенных средних характеризуют не типичную величину признака, а структуру (состав) совокупности.

Мода – наиболее часто повторяющееся значение признака.

Медиана – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы производится по формулам:

где Мо – мода,

– начальное значение модального интервала,

– величина модального интервала,

– частота модального интервала,

– частота интервала, предшествующего модальному,

– частота интервала, следующего за модальным.

где Me – медиана,

– начальное значение медианного интервала,

– величина медианного интервала,

– сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному,

– частота медианного интервала.

 

Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т. е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.

Средние показатели дают обобщающую характеристику совокупности по варьирующим признакам, показывают типичный для данных условий уровень этих признаков, но кроме этого возникает необходимость охарактеризовать:

- отклонения отдельных значений признака от средней величины;

- типичность средней, что характеризуется совокупностью всех отклонений, их распределением;

- однородность совокупности.

Для решения всех этих задач применяются показатели вариации, которые позволяют определить степень колеблемости признаков вокруг средней. Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.

Размах вариации (R) – разница между максимальным (x_max) и минимальным (x_min) наблюдаемыми значениями признака:

Среднее линейное отклонение () – среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня:

(простое), (взвешенное).

Дисперсия – средний квадрат отклонений от средней величины:

(простая), (взвешенная).

 

Среднее квадратическое отклонение:

(простое), (взвешенное).

Коэффициент вариации (V):

В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30-35 %, принято считать неоднородными.

 

Расчет средней величины и дисперсии способом моментов

Способ моментов для расчета средних показателей и дисперсии (способ «от условного нуля») основан на свойствах средней арифметической и дисперсии; применяется при условии равных интервалов.

1. Определяется середина каждого интервала х_i:

2. Определяется условная величина х_i¢: ,

где А – постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака. В вариационных рядах с равными интервалами в качестве такой величины принимается середина интервала с наибольшей частотой;

i – величина интервала.

3. Момент 1-го порядка:

4. Момент 2-го порядка:

5. Расчет средней величины:

6. Расчет дисперсии: