Понятие евклидова пространства.
Опр. Линейное пространство называется евклидовым, если на нем введена операция скалярного произведения, ставящая в соответствия любым векторам х и у Є L число x × y, обладающее (удовлетворяющее) следующим свойствам:
1° x × y= y × x
2° (lx) y= l(xy)
3° x (y + z)= xy + xz
4° x × x ³ 0,причем скалярный квадрат x × x= 0, х= 0
В Евклидовых пространствах можно ввести понятие длины вектора│j│= и угол между векторами cos j =
Нужно показать, что ïcos j ï£ 1 для этого докажем неравенство Коши - Ьуняковского (Шварца):
0£│a × b│£│a││b│
Док-во: Рассмотрим скалярный квадрат (a- lb)(a- lb)= a × a- la × b- l a × b + l2b× b= │a│2- 2la × b+ l2│b│2³ 0 как скалярный квадрат.
Последнее неравенство рассмотрим как квадратное относительно l.
l2│b│2- 2abl + │a│2³ 0
Дискриминант D£ 0, D= b2- 4ac= (-2ab)2- 4│b│2│a│2£ 0
4(ab) 2- 4│b│2│a│2£ 0 ê: 4
(ab) 2£ │b│2│a│2
Извлекаем корень 
0£│a × b│£│a││b│
На основании неравенства Коши - Буняковского определение cos угла между векторами Евклидова пространства корректно.
Замечание: Евклидово пространства размерности n принято обозначать En,
E2- евклидово пространство всех векторов на плоскости, E3- в пространстве.