Означення 4. Частинний приріст функції z=f(х;y) по x у точці M(x;y) визначається формулою . (2.1)
Означення 5. Частинний приріст функції z=f(х;y) по y у точці M(x;y) визначається формулою . (2.2)
Означення 6. Повний приріст функції z=f(x;y) у точці M(x;y) визначається формулою . (2.3)
Означення 7. Окіл радіуса r точки M0(x0;y0) – це сукупність усіх точок M(x;y), які задовольняють нерівності , тобто сукупність усіх точок, які лежать на полі круга радіуса r з центром у точці M0(x0;y0).
Нехай функція z=f(x;y) визначена у деякій області D площини xOy і нехай точка M0(x0;y0)D.
Означення 8. Число А називається границею функції f(x;y) при наближенні точки M(x;y) до точки M0(x0;y0), якщо для будь-якого числа можна знайти таке число (залежить від ), що для всіх точок M(x;y), координати яких задовольняють нерівність , тобто точок M(x;y) із – околу точки M0(x0;y0), виконується нерівність
.
Якщо А – границя функції f(х;y) при M(x;y)→ M0(x0;y0), то це записується так:
. (2.4)
Означення 9. Нехай точка M0(x0;y0)D – області визначення функції f(х;y). Функція z=f(х;y) називається неперервною у точці M0(x0;y0), якщо границя функції в ній існує і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
, (2.5)
причому точка M(x;y) наближається до точки M0(x0;y0) довільним чином, залишаючись в області визначення функції.
Якщо , то (2.5) матиме вигляд:
(2.6)
або
. (2.7)
Використовуючи формулу (2.3) повного приросту функції z=f(х;y) у точці M0(x0;y0), маємо і, крім того, позначивши (якщо і , тоді і, навпаки, якщо , то і ), рівність (2.7) запишеться у вигляді:
. (2.8)
Означення 10. Функція, неперервна у кожній точці деякої області, називається неперервною у цій області.
Означення 11. Точка М1(х1;y1), в якій порушується умова (2.5) неперервності функції z=f(х;y) , називається точкою розриву цієї функції.
Приклад 3. Довести, що функція z=x2+y2 неперервна у будь-якій точці (х;y) площини xOy.
Ця функція визначена в усіх точках площини xOy. Її повний приріст для будь-яких x, y, ∆x, ∆y має вигляд:
.
Перейшовши до границі, коли і , дістанемо
і отже, дана функція неперервна у будь-якій точці (х;y) площини xOy.
Означення 12. Частинною похідною за х функцією двох змінних z=f(х;y) називається границя відношення частинного приросту до приросту цієї змінної ∆х, якщо приріст змінної ∆х довільним чином прямує до нуля.
Частинна похідна за х для функції z=f(х;y) позначається так:
; .
За означенням 12
. (2.9)
Означення 13. Частинною похідною за y функцією двох змінних z=f(х;y) називається границя відношення частинного приросту до приросту цієї змінної ∆y, якщо приріст змінної ∆y довільним чином прямує до нуля. Позначається така похідна так:
; .
За означенням 13
. (2.10)
Зауважимо, що обчислюється у припущенні, що y – стала змінна, а – у припущенні, що х – стала змінна. Тому при обчисленні частинних похідних функції двох змінних можна користуватися вже відомими правилами й формулами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи при цьому іншу змінну сталою.
Аналогічно, частинні похідні функцій більшого числа змінних визначаються та обчислюються у припущенні, що змінюється лише одна з незалежних змінних, а інші при цьому сталі.
Приклад 4. Знайти частинні похідні функцій:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
а) Припускаючи, що y стала і застосовуючи правила й формули диференціювання функції однієї змінної х, знаходимо частинну похідну по х:
Припускаючи, що х стала і застосовуючи правила й формули диференціювання функції однієї змінної y, знаходимо частинну похідну по y:
б)
в)
г)
Приклад 5. Довести, що функція задовольняє рівняння .
Знайдемо спочатку частинні похідні і .
Підставимо вираз для z, і у дане рівняння
Таким чином, доведено, що дана функція задовольняє дане рівняння.