Частинні похідні і функції z=f(х;y) є деякими функціями змінних х та y і, в свою чергу, можуть мати частинні похідні і по х, і по y, які називаються частинними похідними другого порядку від функції z=f(х;y). Позначаються і визначаються похідні другого порядку так:
(9.31)
(9.32)
(9.33)
(9.34)
Теорема 1. Якщо функція z=f(х;y) та її частинні похідні , , , неперервні у точці М(х;y) і в деякому околі цієї точки, то у цій точці
=. (9.35)
Частинні похідні другого порядку знову можна диференціювати по х та по y. При цьому отримаємо частинні похідні третього порядку, яких для функції двох змінних z=f(х;y) буде вісім:
(9.36)
(9.37)
(9.38)
(9.39)
(9.40)
(9.41)
(9.42)
(9.43)
Означення 20. Частинною похідною n-го порядку функції z=f(х;y) називається частинна похідна першого порядку від частинної похідної (n-1)-го порядку.
Приклад 14. Для функції довести, що .
Знайдемо спочатку частинні похідні першого та другого порядків заданої функції:
Тепер розглянемо вираз та підставимо знайдені похідні:
що і треба було довести.
Приклад 15. Знайти частинні похідні другого порядку функції
Знайдемо частинні похідні першого порядку:
А тепер знайдемо частинні похідні другого порядку:
Таким чином
.
10. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ z=f(х;y)
Означення 21. Точка M0(x0;y0) називається точкою локального максимуму функції z=f(х;y) якщо існує такий окіл точки M0, в якому для будь-якої точки M(x;y) (окрім самої точки M0(x0;y0)) виконується нерівність
. (10.44)
Означення 22. Точка M0(x0;y0) називається точкою локального мінімуму функції z=f(х;y), якщо існує такий окіл точки M0, в якому для будь-якої точки M(x;y) (окрім самої точки M0(x0;y0)) виконується нерівність
. (10.45)
Означення 23. Локальні мінімуми і максимуми функції називаються її локальними екстремумами. Точка, в якій досягається локальний екстремум функції, називається точкою локального екстремуму.
Приклад 16. Функція досягає у точці M0(2;3) локального мінімуму. Дійсно, , крім того для всіх і маємо і , а , тобто для всіх і . Отже, .
Теорема 2 (необхідні умови локального екстремуму).
Якщо диференційована функція z=f(х;y), має в точці M0(x0;y0) локальний екстремум, то виконуються рівності:
. (10.46)
Означення 24. Точки, в яких виконуються рівності (6.34), або в яких і не існують, називаються критичними або стаціонарними точками для функції z=f(х;y).
Теорема 3 (достатні умови локального екстремуму).
Нехай у точці M0(x0;y0) і деякому її околі функція z=f(х;y) має неперервні частинні похідні до третього порядку включно; нехай, крім того, . Позначимо і . Тоді:
функція z=f(х;y) досягає в точці M0(x0;y0) локального максимуму, якщо ;
функція z=f(х;y) досягає в точці M0(x0;y0) локального мінімуму, якщо ;
функція z=f(х;y) не має в точці M0(x0;y0) локального екстремуму, якщо ;
функція z=f(х;y) може мати і може не мати в точці M0(x0;y0) локального екстремуму, якщо ∆=0 (в цьому випадку потрібно провести додаткові дослідження).
Приклад 17. Дослідити на екстремум функцію .
Спочатку знайдемо критичні точки, для чого використаємо необхідні умови (6.34) локального екстремуму.
Так як , то маємо систему рівнянь
розв’язком якої є .
Отже, точка – критична точка.
Тепер перевіримо для цієї точки достатні умови локального екстремуму.
Маємо і , а отже, в точці задана функція має локальний мінімум і .
Приклад 18. Дослідити на екстремум функцію
Знайдемо критичні точки, використовуючи необхідні умови локального екстремуму.
.
і, отже, маємо 2 критичні точки М1(0;0) і М2(1;1).
Знайдемо частинні похідні другого порядку .
умов локального екстремуму.
і згідно з теоремою 3 у точці М1(0;0) задана функція локального екстремуму не має.
Тепер розглянемо, чи виконуються достатні умови локального екстремуму у точці М2(1;1).
.
Згідно з теоремою 3 у точці М2(1;1) задана функція досягає локального мінімуму і .
Приклад 19. Дослідити на екстремум функцію .
Згідно з теоремою 2 необхідні умови існування локального екстремуму виглядять так:
.
Розв’язком цієї системи рівнянь є
Отже, критична точка М0(0;0).
Знайдемо другі частинні похідні:
Тоді .
Згідно з теоремою 3 потрібні додаткові дослідження. Проведемо їх:
а для всіх
; отже
, тобто для всіх . Згідно з означенням 20 у точці М0(0;0) задана функція досягає локального максимуму і .