Метод вариации произвольной постоянной.

y’’ + py’ + qy = f(x) (1)

Для решения (1) Ла Гранже и был предложен универсальный метод. суть: он предложил искать решение неоднородного ур-я в том же виде что и решение соотв. однородного ур-я, пологая только что С₁ и С₂ – не константы, а ф-ии завис. от х. т.к y_оо=c₁y₁+c₂y₂ ,то структура y_он=с₁(x)y₁+с₂(x)y₂

фактически для нахождения y_он необходимо найти y₁ и y₂ из решения соотв. однородного ДУ, а затем определить ф-ии с₁(x) и с₂(x)… y₁ и y₂ ищем с помощью соотв. Характерестич. Ур-я. Для нахождения с₁(x) и с₂(x) учтем, что y_он – решение(1) Значит будучи подставленным в него, обращает (1) в тождество.

y’_он=(с₁(x)y₁+с₂(x)y₂)’=(с₁(x)y₁)’+(с₂(x)y₂)’=с₁’(x)y₁+с₁(x)y₁’+с₂’(x)y₂+с₂(x)y₂’ т.к вместо С₁ и C₂(констант) стали рассматрив. Ф-ии с₁(x) и с₂(x) то появилась лишняя степень, которой свободно можем распоряжаться: полагаем что с₁’(x)y₁+ с₂’(x)y₂=0 оставшееся выражение y’_он=с₁(x)y₁’+с₂(x)y₂’ диф. еще раз.

y’’_он= с₁’(x)y₁’+с₁(x)y₁’’+с₂’(x)y₂’+с₂(x)y₂’’ подставляем получ выражение в исходное ДУ

с₁’(x)y₁’+с₁(x)y₁’’+с₂’(x)y₂’+с₂(x)y₂’’+p(с₁(x)y₁’+с₂(x)y₂’)+q(с₁(x)y₁+с₂(x)y₂)=f(x)

раскрываем скобки и перегруппируем слагаемые с₁(x)(y₁’’+py₁’+qy₁)+c₂(x)(y₂’’+py₂’+qy₂)+с₁’(x)y₁’+с₂’(x)y₂’=f(x)

1-ая скобка обращается в 0 т.к по формуле y_оо=c₁y₁+c₂y₂ , y₁ и y₂ – линейное независимое решение соотв. однор. ур-я. Т.О для нахождения неизвестных ф-ий с₁(x) и с₂(x) необходимо решить систем ДУ

с₁’(x)y₁’+с₂’(x)y₂’=f(x)

с₁’(x)y₁+ с₂’(x)y₂=0