Теорема 1(признак сравнения):
Если даны 2 ряда: 1) , ; 2) , n= 1, 2,…
для которых , то 1ый ряд наз-сяможарируемым, а 2ой – можарантным.
Если 2ой ряд сход-ся, то сход-ся и 1й ряд. Если 1 ряд расх-ся, то расх-ся и 2ой ряд.
Теорема 2 ( признак сравнения в предельной форме):
Если даны 2 ряда: 1) , ; 2) , n= 1, 2,…
И , то
1) Если сущ-т предел (С≠0, С≠∞), то оба ряда либо одновременно сход-ся, либо одновременно расх-ся.
2) Если , то из сход-тиможарантного ряда следует сход-тьможарируемого ряда.
3) Если , то из расх-тиможарантного ряда следует расх-тьможарируемого ряда.
Замечание: теорема 1 и 2 на практике не всегда удобны, т.к. для исследования сход-ти 1го из рядов необходимо знать поведение другого ряда или подбирать такой ряд, поведение которого известно.
Пример1:исследовать на сходимость ряд
Сравним его с гармоническим рядом >
Гармонический ряд расх-ся, поэтому расх-ся и данный ряд по 1му признаку сравнения.
Пример2: исследовать сход-ть ряда Для сравнения возьмём обобщенный гармонический ряд , кот-й сх-ся при α>1 и расх-ся при α≤1. . Ряд сх-ся. Положим . Применяем 2ой признак сравнения:
Мы сравнивали данный ряд со сх-ся рядом. По второму признаку сравнения данный ряд сх-ся.