Пусть даны 2 множества:
{а , а ,…, а } и {b , b ,…,b }.
Правило суммы: Если объект типа «а» может быть выбран m1 способами, а объект типа «b» – m2 способами, то выбор или «а», или «b» может быть осуществлен N = m1 + m2 способами.
Правило произведения: Если объект типа «а» может быть выбран m1 способами, и после любого такого выбора объект «b» может быть выбран m2 то выбор и «а», и «b» можно осуществить N = m1·m2 способами.
Основной принцип комбинаторики: Если имеется k множеств, причем из каждого можно составить комбинации соответственно n1, n2,…, nk способами, то комбинация, содержащая комбинации по одной из исходных множеств, может быть составлена N = n1·n2·…·nk способами.
Определение 1. Сочетаниями из n различных элементов по m, причем mn, называются такие комбинации, каждая из которых содержит ровно m элементов и отличается от любой другой хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается С и находится по формуле
С = ,
где n!, m!, (n – m)! – факториалы, то есть произведения соответственно n, m, n – m последовательных натуральных чисел, начиная с 1, например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По определению 0! = 1.
Задача 1. В лотерее разыгрывается 100 билетов; из них 10 являются выигрышными, а остальные 90 – «пустые». Некто покупает 5 билетов. Какова вероятность, что среди них будет 2 выигрышных и 3 «пустых».
Решение. Событие А = {среди 5 отобранных билетов 2 выигрышных и 3 «пустых»}.
Всего Выигрышные Пустые
100 = 10 + 90
↓ ↓ ↓
5 = 2 + 3
Согласно (1) вероятность события А определяется как p(А) = . Общее число n возможных различных способов отбора равно числу способов, которыми можно отобрать 5 билетов из 100: n = C .
Число исходов m, благоприятствующих событию А, зависит от двух условий: среди отобранных билетов должно оказаться 2 выигрышных и 3 «пустых». Число различных способов отбора двух выигрышных билетов из 10 возможных: m1 = C ; а число различных способов отбора трех «пустых» билетов из 90: m2 = C . Используя правило произведения, получаем: m = m1·m2 – число способов, благоприятствующих событию А. Следовательно, искомая вероятность
p(A)= = · : ≈ 0,07.
Ответ: p(A) ≈ 0.07.