ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Сочинский государственный университет туризма и курортного дела

 

Н.С. Абуева, И.Л. Макарова,

В.И. Самарин, Н.Ф. Якунина

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания по выполнению

контрольных работ

Для студентов ЗФО экономических специальностей

 

Сочи – СГУТиКД

 

 

 

 

УДК 519.21

ББК 22.17я73

 

Представлено кафедрой прикладной математики ИИТиМ

Рекомендовано к печати Ученым советом Института информационных технологий и математики СГУТиКД

 

Абуева Н.С., Макарова И.Л., Самарин В.И., Якунина Н.Ф.

Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов ЗФО экономических специальностей. – Сочи: СГУТиКД, 2004. –

56 с.

 

Указания содержат основные определения, правила, теоремы и формулы, необходимые для решения простейших задач по теории вероятностей и математической статистике, а также варианты контрольных заданий.

 

 

УДК 519.21

ББК 22.17я73

 

 

 

 

 

 

 

Лицензия ЛР № 022330 от 30.03.99. Авторская редакция.

Подписано в печать . . 2004. Формат 60х84/16. Бумага офсетная.

Гарнитура шрифта Таймс. Печать трафаретная. Уч.-изд. л. 3,2. Тираж 200 экз. Заказ №

 

Отпечатано с готового оригинал-макета.

г. Краснодар

© Н.С. Абуева, И.Л. Макарова, В.И. Самарин, Н.Ф. Якунина, 2004

© СГУТиКД, 2004

 

Расчет вероятности события

 

Классическое определение вероятности

При классическом определении вероятность события определяется равенством

р(A)= , (1)

где m – число исходов проводимого опыта, благоприятствующих появлению события А; n – общее число возможных исходов.

 

Основные элементы комбинаторики

{а , а ,…, а } и {b , b ,…,b }. Правило суммы: Если объект типа «а» может быть выбран m1 способами, а объект… Правило произведения: Если объект типа «а» может быть выбран m1 способами, и после любого такого выбора объект «b»…

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Определение 3. Произведение событий А и В – это такое событие А·В, состоящее в том, что эти события произошли совместно: и А и В. Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме… р(А + В) = р(А) + р(В).

Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть гипотезы В1, В2, …, Вn образуют полную группу событий и попарно несовместны, а событие A может наступить лишь в результате осуществления одной… (2) где p(В1) + p(В2)+…+ p(Вn) = 1.

Схема Бернулли

 

Вероятность события в условиях схемы Бернулли

Схема Бернулли: производится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p наступает некоторое событие А и,… Обозначим через вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли событие… Справедливы следующие формулы:

Отклонение относительной частоты от вероятности

= 2F (4) Задача 1. Вероятность выигрыша по билету лотереи равна 1/7. Найти вероятность…

Cлучайная величина

 

Основные характеристики случайных величин

Определение 5. Дискретной случайной величиной называется величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений, то есть… Определение 6. Законом распределения дискретной случайной величины Х…   х х1 х2 … xn p(х) p(х1) p(х2) … …

Нормальное распределение

Для нормально распределенной случайной величины М(Х) = а, D(X) = = s 2, среднее квадратическое отклонение s(Х) = s называется стандартным… , (8) , (9)

Двумерная случайная величина

Определение 11. Возможным значением двумерной случайной величины (Х; Y) называется упорядоченная пара чисел вида (Х = xi; Y = yj), а ее вероятностью… Определение 12. Законом распределения двумерной случайной величины называется… Обычно двумерное распределение задается в виде таблицы Y X Y = y1   Y = y2 …

Неравенства Маркова и Чебышева

Неравенство Маркова. Если все значения случайной величины X неотрицательны, то вероятность того, что она примет значение,…   (16)

Неравенства Маркова и Чебышева в условиях схемы Бернулли

Здесь М(X) = np и D(X) = npq. Тогда неравенство Маркова записывается как: - первая форма неравенства; - вторая форма неравенства.

V. Элементы математической статистики

Статистическое распределение

1. Генеральная – исходное множество объектов с соответствующим признаком, о котором необходимо составить представление; 2. Выборочная (выборка) – сравнительно небольшая часть генеральной… В силу случайного попадания объектов в выборку числовые данные в выборке также случайны.

Числовые характеристики

Статистического распределения выборки

. Определение 18. Выборочной дисперсией D называют среднее арифметическое…  

Точечные оценки

Определение 21. Точечная оценка – оценка, которая определяется одним числом q. Это точка на числовой оси, около которой находится оцениваемый… Определение 22. Оценка q параметра q0 называется… Определение 23. Оценка q параметра q0 называется состоятельной, если для любого положительного d , то есть q…

Интервальные оценки

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения определяется следующим образом:   причем, если стандартное отклонение этого распределения известно, то

Линейная корреляция

Выборочный коэффициент корреляции компонент X и Y двумерной случайной величиной (X, Y) выборочной совокупности объемом n рассчитывается по формуле …   где – выборочное среднее для вариант (наблюдавшихся различных дискретных значений) xi компоненты X ( - сумма по…

Статистические гипотезы

Определение 27. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H0. Определение 28. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H1, которая… Различают гипотезы, которые содержат одно и более одного предположений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5 Задача 1. Непосредственный расчет вероятностей на основе комбинаторики и алгебры событий.

Приложения

Таблица 1.

Значения функции стандартного распределения j(x) =

x	с о т ы е д о л и x
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3508	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001
Для 4,00 ≤ x ≤ 4,23 значение функции с точностью до четырех знаков после запятой равно 0,0001
Для x ≥ 4,24 значение функции с точностью до четырех знаков после запятой равно 0,0000

Таблица 2.

Значения нормированной функции лапласа F (x) =

x	с о т ы е д о л и x
0,0	0,0000	0,0040	0,0080	0,0120	0,0160	0,0199	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359
0,1	0,0398	0,0438	0,0478	0,0517	0,0557	0,0596	0,0636	0,0675	0,0714	0,0753
0,2	0,0793	0,0832	0,0871	0,0910	0,0948	0,0987	0,1026	0,1064	0,1103	0,1141
0,3	0,1179	0,1217	0,1255	0,1293	0,1331	0,1368	0,1406	0,1443	0,1480	0,1517
0,4	0,1554	0,1591	0,1628	0,1664	0,1700	0,1736	0,1772	0,1808	0,1844	0,1879
0,5	0,1915	0,1950	0,1985	0,2019	0,2054	0,2088	0,2123	0,2157	0,2190	0,2224
0,6	0,2257	0,2291	0,2324	0,2357	0,2389	0,2422	0,2454	0,2486	0,2517	0,2549
0,7	0,2580	0,2611	0,2642	0,2673	0,2704	0,2734	0,2764	0,2794	0,2823	0,2852
0,8	0,2881	0,2910	0,2939	0,2967	0,2995	0,3023	0,3051	0,3078	0,3106	0,3133
0,9	0,3159	0,3186	0,3212	0,3238	0,3264	0,3289	0,3315	0,3340	0,3365	0,3389
1,0	0,3413	0,3438	0,3461	0,3485	0,3508	0,3531	0,3554	0,3577	0,3599	0,3621
1,1	0,3643	0,3665	0,3686	0,3708	0,3729	0,3749	0,3770	0,3790	0,3810	0,3830
1,2	0,3849	0,3869	0,3888	0,3907	0,3925	0,3944	0,3962	0,3980	0,3997	0,4015
1,3	0,4032	0,4049	0,4066	0,4082	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,4162	0,4177
1,4	0,4192	0,4207	0,4222	0,4236	0,4251	0,4265	0,4279	0,4292	0,4306	0,4319
1,5	0,4332	0,4345	0,4357	0,4370	0,4382	0,4394	0,4406	0,4418	0,4429	0,4441
1,6	0,4452	0,4463	0,4474	0,4484	0,4495	0,4505	0,4515	0,4525	0,4535	0,4545
1,7	0,4554	0,4564	0,4573	0,4582	0,4591	0,4599	0,4608	0,4616	0,4625	0,4633
1,8	0,4641	0,4649	0,4656	0,4664	0,4671	0,4678	0,4686	0,4693	0,4699	0,4706
1,9	0,4713	0,4719	0,4726	0,4732	0,4738	0,4744	0,4750	0,4756	0,4761	0,4767
2,0	0,4772	0,9778	0,4783	0,9788	0,4793	0,4798	0,4803	0,4808	0,4812	0,9817
2,1	0,4821	0,4826	0,4830	0,4834	0,4838	0,4842	0,4846	0,4850	0,4854	0,4857
2,2	0,4861	0,4864	0,4868	0,4871	0,4875	0,4878	0,4881	0,4884	0,4887	0,4890
2,3	0,4893	0,4896	0,4898	0,4901	0,4904	0,4906	0,4909	0,4911	0,4913	0,4916
2,4	0,4918	0,4920	0,4922	0,4925	0,4927	0,4929	0,4931	0,4932	0,4934	0,4936
2,5	0,4938	0,4940	0,4941	0,4943	0,4945	0,4946	0,4948	0,4949	0,4951	0,4952
2,6	0,4953	0,4955	0,4956	0,4957	0,4959	0,4960	0,4961	0,4962	0,4963	0,4964
2,7	0,4965	0,4966	0,4967	0,4968	0,4969	0,4970	0,4971	0,4972	0,4973	0,4974
2,8	0,4974	0,4975	0,4976	0,4977	0,4977	0,4978	0,4979	0,4979	0,4980	0,4981
2,9	0,4981	0,4982	0,4982	0,4983	0,4984	0,4984	0,4985	0,4985	0,4986	0,4986
3,0	0,4987	0,4987	0,4987	0,4988	0,4988	0,4989	0,4989	0,4989	0,4990	0,4990
3,1	0,4990	0,4991	0,4991	0,4991	0,4992	0,4992	0,4992	0,4992	0,4993	0,4993
3,2	0,4993	0,4993	0,4994	0,4994	0,4994	0,4994	0,4994	0,4995	0,4995	0,4995
3,3	0,4995	0,4995	0,4995	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4997
3,4	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4998
3,5	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998
3,6	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
3,7	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
3,8	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
Для x ≥ 3,9 значение функции с точностью до четырех знаков после запятой равно 0,5000

 

Таблица 3.

Значения функции для 0 ≤ x< 1, e ≈ 2,7183

Примечание

1. Значения функции e ^{– x}, содержащей только тысячные доли в показателе, приведены в таблице

е–0,001 = 0,9990	е–0,004 = 0,9960	е–0,007 = 0,9930
е–0,002 = 0,9980	е–0,005 = 0,9950	е–0,008 = 0,9920
е–0,003 = 0,9970	е–0,006 = 0,9940	е–0,009 = 0,9910

 

2. При расчете значений функций с показателем степени, содержащим десятые, сотые и тысячные доли, можно использовать обе вышеприведенные таблицы. Например,

e ^{– 0,825} = e ^{– 0,82}∙ e ^{– 0,005} ≈ 0,4404 ∙ 0,9950 ≈ 0,4382.

 

3. При расчете значений функции e ^{– x} при x ≥ 1 можно использовать алгебраические преобразования. Например,

e ^{– 1}≈ ≈ 0,3679;

e ^{– 1,5} = e ^{– 1}∙ e ^{– 0,5} ≈ 0,3679 ∙ 0,6065 ≈ 0,2231 или e ^{– 1,5} = e ^{– 0,75}∙ e ^{– 0,75} ≈ (0,4724)² ≈ 0,2231;

e ^{– 3,5} = e ^–3∙ e ^{– 0,5} ≈ (0,3679)³∙ 0,6065 ≈ 0,0302.

 

4. Для получения значения функции с любой требуемой точностью можно использовать формулу разложения этой функции в ряд Маклорена, сходящийся для всех x:

(при этом погрешность получаемого значения функции определяется абсолютной величиной первого отброшенного члена ряда).

 

5. При расчете значений функции с положительным показателем можно воспользоваться соотношением e ^а ≈ ^{– а}. Например, e ^0,825 = 1/ e ^{– 0,825} ≈ 1/0,4382 ≈ 2,282.

Таблица 4.

Значения коэффициентов стьюдента t_γ = t(γ,n)

(n – объем выборки, γ – доверительная вероятность)

γ n	γ = 0,8	γ = 0,9	γ = 0,95	γ = 0,98	γ = 0,99	γ = 0,999
	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	31,599
	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	12,924
	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	8,610
	1,476	2,015	2,571	3,365	5,032	6,859
	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	5,959
	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	5,405
	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	5,401
	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	4,781
	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,587
	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,437
	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	4,318
	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	4,221
	1,345	1,761	2,145	2,624	3,977	4,140
	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	4,073
	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	4,015
	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,965
	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,922
	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,883
	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,850
	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,819
	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,792
	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,767
	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,745
	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,725
	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,707
	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,690
	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,674
	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,659
	1,307	1,692	2,032	2,443	2,720	3,600
	1,304	1,685	2,023	2,426	2,708	3,558
	1,301	1,681	2,016	4,415	2,692	3,527
	1,299	1,677	2,009	4,405	2,679	3,502
	1,296	1,672	2,001	2,391	2,662	3,464
	1,294	1,668	1,996	2,383	2,649	3,439
	1,292	1,664	1,991	2,376	2,640	3,418
	1,291	1,662	1,987	2,370	2,633	3,403
	1,290	1,660	1,984	2,365	2,627	3,392
	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	3,374
	1,288	1,656	1,976	2,353	2,609	3,357
	1,286	1,653	1,972	2,345	2,601	3,340
	1,283	1,648	1,965	2,334	2,586	3,310
∞	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,291

Таблица 5.

Значения ПАРАМЕТРА точности оценки стандартного отклонения

Нормальной случайной величины генеральной совокупности

(n – объем выборки, γ – доверительная вероятность) γ n γ = 0,95 γ = 0,99 γ = …

Примечание

Точность оценки стандартного отклонения нормальной случайной величины генеральной совокупности определяется значением s∙q, то есть, интервальная оценка (доверительный интервал) для стандартного отклонения определяется как s∙(1 – q) < σ₀ < s∙(1 + q), где s – исправленное выборочное стандартное отклонение. Поскольку по определению σ₀ неотрицательная величина, то в случае q > 1 интервальную оценку для стандартного отклонения σ₀ нормальной случайной величины генеральной совокупности следует определять как 0 < σ₀ < s∙(1 + q).

ОГЛАВЛЕНИЕ

I. Расчет вероятности события………………………………………3

II. Формула полной вероятности и формула Байеса………………..7

III. Схема Бернулли…………………………………………………….9

IV. Случайная величина……………………………………………….13

V. Элементы математической статистики…………………………..26

Контрольные задания:

Контрольная работа № 5……………………………………………..38

Контрольная работа № 6……………………………………………..45

Приложения:

Таблица 1. Значения функции стандартного распределе-

ния j(x) = ……………………………………………51

Таблица 2. Значения нормированной функции Лапласа

F (x) = ………………………………………………………..52

Таблица 3. Значения функции …………………………………..53

Таблица 4. Значения коэффициентов Стьюдента t_γ = t(γ,n)………..54

Таблица 5. Значения параметра точности оценки стандарт-

ного отклонения нормальной случайной величины генераль-

ной совокупности q = q(γ,n)………………………………………….55

 

Учебное издание

 

Абуева Наталья Сергеевна

Макарова Ирина Леонидовна

Самарин Виктор Иванович

Якунина Наталья Федоровна

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА:

 

Методические указания по выполнению

Контрольных работ для студентов ЗФО

Экономических специальностей

 

Издательство СГУТиКД

354000, г. Сочи, ул. Советская, 26-а.

Тел./факс: 8(8622) 622-790

E-mail: sgutikd@surt.sochi.ru

http://surt.sochi.ru