Здесь М(X) = np и D(X) = npq. Тогда неравенство Маркова записывается как:
- первая форма неравенства;
- вторая форма неравенства.
С учетом дисперсии:
А неравенство Чебышева принимает вид:
- первая форма неравенства;
- вторая форма неравенства.
Если в задаче отсутствует информация о вероятностях p и q, то необходимо воспользоваться ограничением pq £ 0,25.
Задача 1. Среднее число телевизоров, получаемых ремонтной мастерской в течение недели, равно 10 со средним квадратическим отклонением 3. Оценить вероятность того, что в предстоящую неделю в мастерскую поступит не более 25 телевизоров.
Решение. Случайная величина X – число телевизоров, получаемых ремонтной мастерской в течение недели.
Нанесем данные задачи на числовую прямую:
10 15
x
0 а=10 25
Итак, границы интервала заданного изменения Х несимметричны относительно математического ожидания, следовательно, для решения задачи применяется неравенство Маркова (вторая форма в (16)):
С другой стороны, известно среднее квадратическое отклонение s = 3, а тогда D(X) = s 2 = 9. Используем неравенство Маркова при известной дисперсии:
Сравнивая полученные результаты, делаем вывод: p(X £ 25) ³ 0,8256.
Ответ: p(X £ 25) ³ 0,8256.
составляет 0,06. Оценить вероятность того, что число разбитых бутылок у реализатора превзойдет 500.
Решение. Случайная величина X – число разбитых бутылок.
Нанесем данные задачи на числовую прямую:
x
0 a=300 500 5000
Математическое ожидание и дисперсия находятся по формулам a = np и D(X) = npq, так как задача относится к задачам на схему Бернулли. Итак, a = 5000×0,06 = 300; D(X) = 5000×0,06×0,94 = 282.
Используем неравенство Маркова в условиях схемы Бернулли:
Сравнивая результаты, делаем вывод: p(X > 500) £ 0,3611.
Ответ: p(X > 500) £ 0,3611.
Задача 3. Среднее число автобусов автопарка, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации, равно 10 при среднем квадратическом отклонении 4 автобуса. Оценить вероятность того, что в течение месяца автопарк отправит в ремонт от 5 до 15 машин включительно.
Решение. Х – число автобусов, отправляемых в ремонт.
Нанесем данные задачи на числовую прямую:
5 5
x
0 5 a=10 15
Известно, что s = 4, а, следовательно, D(X) = s 2 = 16; интересуемый интервал значений Х симметричен относительно математического ожидания этой случайной величины, поэтому воспользуемся неравенством Чебышева (второй формой в (18)):
Ответ: p(|X – 10| £ 5) ³ 0,36.
Задача 4. Вероятность задержки рейса самолета по техническим причинам равна 0,03. Оценить вероятность того, что из 1200 планируемых в
течение месяца вылетов из аэропорта произойдет по этим причинам задержка более 72 рейсов.
Решение. X – число задержек вылетов самолетов в месяц.
Нанесем данные задачи на числовую прямую:
36 36
x
0 a=36 72 1200
Математическое ожидание и дисперсия находятся по формулам a = np и D(X) = npq, так как задача относится к задачам на схему Бернулли. Итак, a = 1200×0,03 = 36, D(X) = 1200×0,03×0,97 = 34,92.
Дисперсия известна, а также интервал значений случайной величины Х вне искомого имеет границы, симметричные относительно математического ожидания а = 36, следовательно, используем для решения задачи неравенство Чебышева в условиях схемы Бернулли:
p(X > 72) = 1 – p(X £ 72) = 1 – p(|X – 36| £ 36) £ 1 – =
= 34,92/ 36 2 = 0,0269.
Ответ: p(X > 72) £ 0,0269.