Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1) не превысит положительного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа при
= 2F (4)
Задача 1. Вероятность выигрыша по билету лотереи равна 1/7. Найти вероятность выиграть: а) по двум билетам из шести; б) не менее чем по двум билетам из шести.
Решение. Событие А = {выиграть по билету лотереи}, Так как n = 6, то используется формула Бернулли.
а) Пусть событие В = {выиграть по двум билетам из шести}:
б) Пусть событие С = {выиграть не менее чем по двум билетам из шести}: Получается сложная формула для вычисления вероятности. С другой стороны, используя противоположное событие,
Ответ: а) р(В) = 0,165; б) р(С) = 0,207.
Задача 2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах число поражений мишени будет: а) равно 73; б) находится между 80 и 95.
Решение. Событие А = {поражение мишени}, р = р(А) = 0,8; q = 0,2. Так как n = 100, то необходимо найти npq = 100×0,8×0,2 = 16 > 9. Следовательно, используется формула Муавра-Лапласа.
а) Локальный случай:
где
То есть
Значение функции определяется по таблице №1 Приложений.
б) Интервальный случай:
То есть, р100(80; 95) = F(3,75) – F(0) = 0,4995 – 0 = 0,4995.
Значение функции F(x) определяется по таблице №2 Приложений.
Ответ: а) р100(73) = 0,022; б) р100(80; 95) = 0,4995.
Задача 3. В среднем левши составляют 1%. Найти вероятность того, что в аудитории из 200 студентов окажется: а) ровно 2 левши; б) не менее чем 4 левши; в) хотя бы 1 левша.
Решение. Событие А ={студент – левша}, р = р(А) = 0,01; q = 0,99. Так как n = 200, то найдем npq = 200×0,01×0,99 = 2 < 9. Следовательно, используется формула Пуассона.
а) Локальный случай:
Значение функции е –х определяется по таблице №3 Приложений.
б) Интервальный случай:
в) Интервальный случай:
.
Ответ: а) р200(2) = 0,27; б) р200(³ 4) = 0,14; в) р200(³ 1) = 0,864.
Задача 4. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 30 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.
Решение. Событие А = {мяч заброшен в корзину}, р = р(А) = 0,4; q = 0,6; n = 36; npq = 7,2.
Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства
. Подставив данные задачи, получим
30∙0,4 – 0,6 £ m0 £ 30·0,4 + 0,4 или 11,2 £ m0 £ 12,4.
Так как m0 – целое число, то m0 = 12.
Поскольку npq = 7,2 < 9, то, используя локальную формулу Муавра-Лапласа, найдем где
Тогда
Ответ: m0 = 12, р30(12) = 0,1487.
Задача 5. Сколько нужно провести опытов, чтобы с вероятностью 0,901 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться по абсолютной величине от вероятности появления этого события, равной 0,4, не более чем на 0,1?
Решение. По условию р = 0,4; q = 0,6; e = 0,1;
Воспользуемся формулой (4): 2F или
F
По таблице №2 Приложений значение аргумента х = 1,65. Следовательно, 0,204 или , n = 65,42.
Таким образом, искомое число испытаний n = 66.
Ответ: n = 66.