Пусть на плоскости задана некоторая линия l. Выберем какую-либо систему координат, например, прямоугольную систему координат XOY.
Уравнение F(x,y)=0 называется общим уравнением линии в системе координат XOY, если ему удовлетворяют координаты любой точки M, принадлежащей линии l, и не удовлетворяют координаты точек , не принадлежащих этой линии.
Линией первого порядка на плоскости называется множество точек, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
(2.1)
Линией второго порядка на плоскости называется множество точек, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
(2.2)
Часто удается выразить координаты произвольной точки M(x,y)линии l через некоторую вспомогательную величину (параметр) t:
, (2.3)
Если при изменении t в некотором промежутке эти формулы дадут координаты любой точки, лежащей на линии l, и не дадут координаты никаких других точек, то , называется параметрическими уравнениями линии l.
Уравнение поверхности в пространстве определяется аналогично уравнению линии на плоскости. Равенство F(x,y)=0называется уравнением поверхности S в данной системе координат Oxyz, если координаты всех точек поверхности S(s), удовлетворяют этому равенству, а координаты точек, не лежащих на S , ему не удовлетворяют.
Параметрические уравнения линии в пространстве имеют вид
, - параметр (2.4)
а поверхности
, где - параметры (2.5)