Параметрические и канонические уравнения прямой

Положение прямой l однозначно определяется точкой M₀ на прямой и вектором ,коллинеарным ей. Вектор называется направляющим вектором прямой.

Пусть -текущая точка на прямой l, т.е. точка, пробегающая всю прямую, и пусть Oxyz - прямоугольная декартова система.

 

 

 

Векторы и коллинеарны (рис. 3.1.).

,где -число

, или (3.1.1)

Уравнение (3.1.1.) носит название векторного параметрического уравнения прямой. Очевидно, что уравнение (3.1.1.) справедливо для векторного пространства любой размерности. Скалярные уравнения прямой в пространстве получим с помощью координат векторов и точек. Обозначим координаты точек и , если изучается прямая на плоскости, и через и , если прямая в пространстве, соответственно координаты направляющего вектора обозначим и . Тогда получим параметрические уравнения прямой:

· для плоскости

(3.1.2)

· для пространства

(3.1.3)

Решая уравнение (3.1.2) относительно ,получимканонические уравнения:

· для плоскости

(3.1.4)

· для пространства

(3.1.5)

Аналогично могут быть получены уравнения прямой в пространстве любой размерности.

Перепишем уравнения (3.1.2) в виде (получается исключением из (3.1.2))

(3.1.6)

где называется угловым коэффициентом прямой на плоскости, , где , называемый углом наклона прямой l к оси Ox, равен углу, который прямая образует с положительным направлением оси Ox. Этот угол считается положительным, если он отсчитывается от оси Oxпротив часовой стрелки, и отрицательным - по часовой стрелке (3.1.2).

 

 

 

 

Рис. 3.2.

Преобразуя уравнение (3.1.6), получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

, где (3.1.7)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и , получим из уравнения (3.1.2) заменой на и на (за направляющий вектор можно взять вектор)

(3.1.8)