Пусть в пространстве заданы система прямоугольных декартовых координат и некоторая плоскость p (рис. 6.2), положение которой определено единичным вектором , имеющим направление перпендикуляра OD, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра.
Рис. 6.2
Произвольную точку плоскости М мы будем обозначать двояким образом: либо при помощи её координат в виде M(x,y,z), либо при помощи её радиус-вектора – в виде =; оба способа равнозначны, поскольку =x+ y+ z.
При любом положении точки М на плоскости p проекция её радиуса вектора на направление вектора всегда равна p: (6.3.1)
Но это равенство можно записать используя скалярное произведение.
= (r,n) - p = 0 (6.3.2)
Это векторное уравнение плоскости p.
От векторного уравнения перейдём к её координатному уравнению.
Обозначим через a, b, g углы образованные единичным вектором с ортами ,,. Тогда cosa, cosb и cosg будут координатами этого вектора:
= cosa +cosb +cosg (6.3.3)
Кроме того, известно, что = x+ y+ z (6.3.4)
Используя формулы (6.3.3) и (6.3.4) выразим (-) - p = 0 в координатной форме:
(,) - p = x cosa + y cosb + z cosg – p = 0 (6.3.5)
Это нормальное уравнение плоскости в координатной форме.
Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение плоскости p: Ax + By + Cz + D = 0 (6.1.2)
Как, отправляясь от этого уравнения, получить нормальное уравнение той же плоскости?
Так как уравнения (6.3.5) и (6.1.2) определяют одну и ту же плоскость p, то их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е.
(6.3.7)
при некотором l, из равенств (6.3.7) определяем l: ôlô= (6.3.8)
Знак l определяем для случая D¹0 из четвёртого равенства (6.3.7); так как p>0, то lD<0 и, следовательно, l имеет знак, противоположный знаку D.
Определение: Число l, имеющее модуль и знак, противоположный знаку коэффициента D, называется нормирующим множителем уравнения (6.1.2). При D=0 можно знак l выбрать произвольно.
Мы установили: для того, чтобы из общего уравнения плоскости (6.1.2) получить нормальное уравнение плоскости (6.3.5), надо обе части уравнения (6.1.2) помножить на нормирующий множитель этого уравнения.