Пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:
(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0,
где l - действительный параметр.
Уравнением пучка плоскостей удобно пользоваться при решении многих задач аналитической геометрии.
Примеры:
1. Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей
x + y - z - 2 = 0 и 2x - 3y + z - 7 = 0 и через точку M0(1; 3; -2).
Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку x + y - z - 2 + l(2x - 3y + z - 7) = 0
Параметр l находим из условия, что точка М0 лежит на искомой плоскости:
1 + 3 - ( - 2) + l(2*1-3*3 - 2 - 7)=0 Þ l = 1/4
Уравнение плоскости имеет вид: x + y - z - 2 + 1/4(2x - 3y + z - 7) = 0, после упрощений уравнение плоскости имеет вид: 6x + y - 3z - 15 = 0.
2. Найти уравнение плоскости, проходящий через линию пересечения плоскостей
2x + y - z = 0 и 2y + z - 2 = 0 и перпендикулярной к плоскости x + 3y + z = 0
Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку 2x + y - z + l(2y + z - 2) = 0
Используя условие перпендикулярности двух плоскостей (6.5.5), имеем:
A1 = 2, B1 = (1 + 2l), C1 = (-1 + l)
A2 = 1, B2 = 3, C2 = 1
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 Þ 2 + 3(1 + 2l) + (l - 1) = 0 Þ l = -4/7
Уравнение плоскости имеет вид: 14x - y - 11z + 8 = 0