Координатное представление векторов

Пусть мы имеем прямоугольную систему координат в пространстве. Обозначим единичные векторы (орты ) осей Ox, Oy, Oz соответственно через причем .

Разложим произвольный вектор трехмерного пространства по ортам. Для этого построим вектор , равный вектору . Из точки Мопустим перпендикуляр на плоскостьхOу. Из основания этого перпендикуляра (точка А) опустим перпендикуляры на оси координат Ох и Оу и соединим точку А с началом О. На векторах и построим прямоугольник ОАММ3, диагональю которого будет вектор . Из рис. 1.7 видно, что или .

 

 

 

Рис. 1.7

Векторы , , называются составляющими или компонентами вектора , а их величины ||=Х, ||=Y, ||=Z координатами этого вектора.

Определение 1.Проекции вектора на соответствующие координатные оси называется его составляющими или компонентами.

Определение 2.Величины проекций вектора на соответствующие координатные оси называются его координатами.

Компоненты вектора выразим через его координаты и единичные векторы : =Хi, =Yj, =Zk .

Подставляя эти значения в равенство и обозначив через получим:

(1.4.1)

Равенство (1.4.1) можно записать в виде:

(1.4.2)

Замечание 1.Равные векторы имеют одинаковые координаты.

Замечание 2.Разложение вектора в виде (1.4.1) возможно только единственным способом.

Из единственности разложения (1.4.1) вектора по ортам, следует, что если координаты любых двух векторов и равны, т.е. , то эти векторы тоже равны .

Вектор , идущий от начала точки О к точке называется радиус - вектором этой точки, и его координаты совпадают с соответствующими координатами точки (рис. 1.8), Х=х, Y=y, Z=z.

 

Рис. 1.8

Поэтому , или . Пусть - вектор, координаты начала и конца которого известны и . Тогда координаты вектора выражаются по формулам :

(1.4.3)

Из рис. 1.9 видно, что

(1.4.4)

 

 

Рис. 1.9

Используя свойства проекций (п.1.2.), имеем: , и аналогичным образом находим .

Разложение вектора по ортам будет иметь следующий вид:

(1.4.5)

Тройка векторов называется координатным базисом, а разложение (1.4.1) вектора называется разложением вектора по базису .

Замечание.Разложение вектора на плоскости по базису имеет вид .

1.5. Операции над векторами, заданными
в координатной форме

Если векторы заданы в координатной форме, то операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число можно заменить более простыми арифметическими операциями над координатами этих векторов по следующим правилам.

Правило 1.При сложении векторов их одноименные координаты складываются:

, ,

(1.5.1)

Правило 2.Чтобы вычесть из вектора вектор , нужно вычест координаты вектора из соответствующих координат вектора , т.е.

или (1.5.2)

Правило 3. Чтобы умножить вектор на число , нужно умножить на это число его координаты , т.е. если , то .