Геометрический смысл метода Ньютона (метода касательных) заключается в том, что на отрезке содержащем корень уравнения (1) график функции заменяется отрезком касательной, проведенной к графику при или . (Предполагая что функция дифференцируема на .)
При этом используется только одна точка, поэтому не обязательно задавать отрезок , содержащий корень, достаточно задать некоторое приближение .
Уравнение касательной в точке
.
Для точки пересечения с осью 0x получаем
, и т. д.
(8)
Объем вычислений в методе Ньютона на каждом шаге выше, чем в предыдущих методах, т. к. в точке вычисляются значения функции и ее производной, что компенсируется более высокой скоростью сходимости этого метода.
Но в отличие от предыдущих методов метод Ньютона сходится не при всяком выборе начального приближения на отрезке, содержащем корень уравнения.
Легко проверить, что примером достаточных условий сходимости метода будет сохранение знака второй производной f(x) на некотором промежутке, содержащем корень, и выбор начального приближения с той стороны от корня, где знак функции совпадает со знаком второй производной.
При этом последовательные приближения будут сходится к корню монотонно.
Другой вариант достаточного условия сходимости получается при исследовании скорости сходимости вблизи корня
Перепишем формулу (8) в виде
Используя для разности разложение по формуле Тейлора до членов второго порядка, получим
.
Отсюда
, (9)
где .
Из неравенства (9) следует, что
при (10)
Условие (10) можно рассматривать как ограничение на выбор начального приближения: выполнение неравенства
достаточно для сходимости метод.
Если погрешности приближенных решений, полученных некоторым методом, удовлетворяют неравенству вида (9) (где ), то говорят, что метод имеет квадратичную скорость сходимости.
Наличие показателя степени 2 в правой части неравенства (9) определяет большее убывание погрешности приближенных решений, полученных методом Ньютона, по сравню, например, с методом хорд.
Оценки погрешности приближенных решений могут быть получены в аналогичном методу хорд виде. Из формулы (8) следует
-f(xn) = (xn+1 - xn )f'(xn),
отсюда получается формула, аналогичная (4)
( x* - xn ) = ( xn+1 - xn )f'(xn).
Из этой формулы вытекает оценка (6)
.
Для погрешности приближенного решения также справедлива и оценка (7)
[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]