Численные методы алгебры

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Развитие численных методов решения задач. Понятие вычислительного эксперимента. Классификация и элементы анализа погрешностей приближенных вычислений

Численные методы алгебры

Итерационные методы решения алгебраических уравнений и систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений. Приближенные методы нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц

Численные методы математичекого анализа

Приближения функций интерполяционными многочленами и сплайнами. Среднеквадратичные приближения. Численное дифференцирование и интегрирование.

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений

Одношаговые и многошаговые разностные схемы для задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Разностные схемы для краевых задач для ОДУ 2-го порядка.

[Home|Кафедра|ПетрГУ] Роль численныхметодов Понятие точного и приближенногорешения математической задачи. Суть метода… Вычислительный эксперимент как современная компьютерная форма метода математического моделирования. Технологическая…

Источники и классификацияпогрешностей

Источники погрешностей:
- погрешность модели
- погрешность метода
- вычислительная погрешность.

Абсолютная и относительнаяпогрешность приближенного значения.

Погрешности арифметическихопераций

Оценка абсолютной погрешностизначения функции
через погрешности ее аргументов.

Оценки абсолютной и относительной погрешностей арифметическихопераций:
- сложение
- вычитание
- умножение
- деление.

Обратная задача оценкипогрешности.

Методы решения алгебраических уравнений

Метод деления отрезка пополам(метод дихотомии) (на каждом шаге итерационного процесса отрезок, содержащий корень, делится пополам) Метод хорд (на каждом шаге итерационного процесса кривая на отрезке,… Метод Ньютона (метод касательных) (на каждом шаге итерационного процесса кривая на отрезке, содержащем корень,…

Итерационныеметоды. Общая схема

Классификация итерационныхметодов

Общий вид и каноническаяформа одношаговых итерационных методов

Критерий сходимости стационарного линейного одношагового итерационного метода

Достаточные условия сходимости,
использующие различные нормы матрицы перехода

Достаточные условия сходимости,
для канонической формы

Вариантыитерационных методов

Метод простых итераций

Метод Якоби

Метод Зейделя

Метод релаксации

Пример решения системы линейныхалгебраических уравнений
методом Зейделя
методом релаксации

Оценкапогрешности и мера обусловленности

мера обусловленности матрицы. Алгебраическаяпроблема собственных значений Постановка задачи о собственных числах и собственных векторах матрицы

Минимизацияостаточного члена

Постановка задачи

Многочлен Чебышева
Определение и свойства многочленов,наименее отклоняющихся от нуля

Минимизация оценки остаточногочлена

Интерполяционнаяформула Ньютона
с разделенными разностями

Разделенные разности
Выражение многочлена через его разделенныеразности

Интерполяционный многочленв форме Ньютона.

Численноедифференцирование

Использование интерполяционногомногочлена с разделенными разностями

Погрешность приближенныхформул для производных первого и второго порядка

Оценка погрешности пометоду Рунге

Уточнение приближенногорешения

Сплайн-интерполяция

Линейный интерполяционныйсплайн
определение, остаточный член и его оценка

Сходимость интерполяции

Кубический интерполяционныйсплайн
Определение, вывод системы управленийдля параметров сплайна

Оценка погрешности и сходимость

Метод прогонки

Пример построенияинтерполяционного кубического сплайна

Методнаименьших квадратов

Подбор эмпирических формул
Определение вида и подбор параметров эмпирических зависимостей

Среднеквадратические приближения
Вывод системы уравнений для параметров аппроксимирующей функции

Система уравнений для коэффициентов аппроксимирующегомногочлена

Пример построенияаппроксимирующего многочлена
методом квадратов

Квадратурныеформулы

Формулы прямоугольников Построение и оценка погрешности Формулы левых, правыхи средних прямоугольников Обобщенная формула прямоугольников Построение и оценка погрешности

Задача Коши для ОДУ

Сведение уравнения произвольногопорядка к системе
уравнений первого порядка

Постановка задачи Коши

Классификация численныхметодов для задачи Коши:
одногошаговые - многошаговые
явные - неявные

МетодЭйлера

Построение явной и неявнойразностных схем

Погрешность аппроксимации

Сходимость

Устойчивость задачи Кошипо начальному условию

Устойчивость схемы Эйлерана модельной задачи
Условная устойчивость явной схемы

Безусловная устойчивостьнеявной схемы

Пример решения задачи Коши
методом Эйлера первого порядка точности
неявным методом Эйлера

Методы Рунге-Кутты

Канонический вид явныходношаговых методов.

Построение семейства схемвторого порядка точности

Форма "предиктор-корректор"

Сходимость семейства разностныхсхем на модельной
задаче

Пример решения задачиКоши
методом Рунге-Кутты второго порядка точности

Многошаговые схемы. МетодАдамса

Особенности применениямногошаговых схем

Сценарий построения многошаговыхсхем

Явныесхемы Адамса

Построение двухшаговойи трехшаговой разностных схем

Погрешность аппроксимации

Устойчивость на модельнойзадаче

Пример решения задачиКоши
явным двухшаговым методом Адамса

Неявныесхемы Адамса

Построение двухшаговойсхемы

Погрешность аппроксимации

Устойчивость на модельнойзадаче

Нахождение решения неявнойразностной схемы

Схема "предиктор-корректор"

Пример решения задачиКоши
неявным двухшаговым методом Адамса

Краевыезадачи для ОДУ

Методстрельбы для краевой задачи с ОДУ второго порядка Разностныесхемы для краевой задачи с ОДУ 2-го порядка Простейшаязадача Разностная аппроксимация второй производной

Введение

Во введении кратко обсуждается роль численных методов, рассматриваются исходные понятия, связанные с погрешностями приближенных решений и излагаются некоторые элементарные вопросы анализа погрешностей.

Роль численных методов

Во всех этих случаях используются методы приближенного, в первую очередь численного решения. Методы численного решения математических задач всегда… Прогресс в развитии численных методов способствовал постоянному расширению… Параллельно с развитием численных методов шла разработка инструментальных средств вычислений, представлявших собой…

Источники и классификация погрешностей

Погрешности данных, метода и вычислений

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами: 1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно… 2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного…

Абсолютная и относительная погрешности вычисления

    Относительной погрешностью называют некоторую величину , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству: …

Погрешности арифметических операций.

Погрешность вычисления значений функции.

Пусть непрерывно дифференцируемая функция,

- приближенные значения ее аргументов, для которых

- известные абсолютные погрешности.

Для погрешности приближенного значения функции по формуле Лагранжа получаем

, где

Заменяя , получаем

 

Оценка погрешности соответственно:

, где

или , где

Погрешность суммы

Пусть задана функция

Тогда , .

Для абсолютной погрешности получаем

.

Относительная погрешность

.

Пусть , , тогда , т.е. при сложении приближенных величин относительная погрешность не возрастает.

Погрешность разности

Пусть задана функция

Тогда аналогично предыдущему абсолютная погрешность

.

Для относительной погрешности имеем формулу

.

Отсюда следует, что если приближенные значения и близки друг к другу, то относительная погрешность их разности может оказаться намного больше и .

Погрешность произведения

Пусть задана функция

Тогда абсолютная погрешность

.

Относительная погрешность

.

Погрешность частного

Пусть задана функция

Тогда абсолютная погрешность

.

Относительная погрешность

 

Обратная задача оценки погрешности

Используем ранее полученное неравенство . Должно быть .

Численные методы алгебры

В данном разделе рассматриваются методы решения следующих алгебраических задач:
- нахождение корней конечного уравнения ;
- решение системы линейных алгебраических уравнений;
- решение нелинейной системы конечных уравнений;
- нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы.

 

Методы решения алгебраических уравнений

(1) Как правило, алгоритм приближенного метода состоит из двух этапов: - поиск приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

Метод деления отрезка пополам

На первом этапе должен быть найден отрезка такой, что < 0. Тогда отрезок содержит нечетное число корней уравнения (1) нечетной… Начальное приближение x0 = .

Метод хорд

Геометрический смысл заключается в замене кривой хордой. Очередное приближение находится как точка пересечения хорды с осью абсцисс. Если - отрезок содержащий корень, то уравнение хорды . (2)

Метод Ньютона

При этом используется только одна точка, поэтому не обязательно задавать отрезок , содержащий корень, достаточно задать некоторое приближение … Уравнение касательной в точке .

Метод Гаусса решения систем линейных

Алгебраических уравнений

(11) ( ) или , где - матрица коэффициентов системы, - вектор неизвестных, - вектор правых частей.

Варианты итерационных методов

Метод простых итераций

(26) Выясним достаточные условия сходимости этого метода. В соответствии с теоремой… Учитывая, что , имеем .

Метод Якоби

. ( 27) Формулы (27) получаются непосредственно из исходной системы, если i - ое… Подставляя сюда

Метод Зейделя

  Компоненты находятся последовательно по формулам:  

Метод релаксации

Можно ускорить сходимость метода Зейделя, если в схему (28) ввести итерационный параметр (параметр релаксации) .Получим

. (29)

Значение соответствует методу Зейделя.

Применим теорему 2 для исследования сходимости метода релаксации.

. Найдем разность

,

при .

Таким образом, метод релаксации сходится при любых значениях , если - положительная матрица.

Оценка погрешности и мера обусловленности

(30) в действительности решается некоторая система , где (31)

Варианты итерационных методов

Метод простых итераций

(26) Выясним достаточные условия сходимости этого метода. В соответствии с теоремой… Учитывая, что , имеем .

Метод Якоби

. ( 27) Формулы (27) получаются непосредственно из исходной системы, если i - ое… Подставляя сюда

Метод Зейделя

  Компоненты находятся последовательно по формулам:  

Метод релаксации

Можно ускорить сходимость метода Зейделя, если в схему (28) ввести итерационный параметр (параметр релаксации) .Получим

. (29)

Значение соответствует методу Зейделя.

Применим теорему 2 для исследования сходимости метода релаксации.

. Найдем разность

,

при .

Таким образом, метод релаксации сходится при любых значениях , если - положительная матрица.

Оценка погрешности и мера обусловленности

(30) в действительности решается некоторая система , где (31)

Степенной метод

Пусть - собственные числа матрицы A. Для определенности предположим, что   Берем произвольный ненулевой вектор . Строим последовательность векторов

Метод вращений

Сущность метода состоит в следующем. Известно, что для симметрической матрицы A существует ортогональная матрица U…  

Численные методы математического анализа

Большую часть главы занимают параграфы, посвященные первой теме: Пусть - заданная (непрерывная) функция на отрезке . Необходимо приблизить… Рассматриваются далее три варианта аппроксимации: 1) Интерполирование (точечное):

Задача интерполяции. Многочлен Лагранжа

Постановка задачи

Итак, известны значения функции f(x) в точках , . Потребуем, чтобы для некоторой функции выполнялись равенства:

Построение интерполяционного многочлена Лагранжа

Система уравнений (3) в этом случае имеет вид: , (5) Определителем этой системы является отличный от нуля определитель Вандермонда:

Остаточный член

При . Найдем постоянную такую, чтобы в некоторой фиксированной точке , в которой мы рассматриваем погрешность. Относительно будем предполагать кратную дифференцируемость. Значение c, при котором существует и равно . Тогда функция равна нулю по крайней мере в точках .

Постановка задачи

Для получено выражение : (7) Оно получено в предположении, что производная существует и ограничена. Для одной определенной функции точность…

Многочлены Чебышева

(9) При : При : ,

Минимизация оценки остаточного члена

. Величина на отрезке [-1,1] будет минимальна, если окажется многочленом … Сделаем замену , задающую отображение [-1, 1] в отрезок . Отсюда . Тогда и многочлен является наименее…

Пусть имеется табулированная функция . Введем понятие разделенной разности.

Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями самой функции.

Разделенные разности первого порядка

Разделенные разности второго порядка и т.д.

Разделенные разности - го порядка :

(14)

Пусть многочлен степени . Разность обращается в нуль при , следовательно, она делится на . Тогда разделенная разность первого порядка - многочлен степени относительно (и относительно , так как выражение симметрично относительно и ).

Разность обращается в нуль при , поэтому, разделенная разность второго порядка

- многочлен степени .

Аналогично, - многочлен степени и т.д.

Разделенная разность порядка n: - многочлен нулевой степени.

Разделенные разности более высокого порядка обращаются в нуль.

Значение от не зависит, тогда

Из определения разделенных разностей следует:

 

и т.д.

Отсюда получаем формулу для :

(15)

Разделенные разности в соответствии с рекуррентной формулой (14) выражаются через значения многочлена в узлах . Если - узлы интерполяции, - значения интерполируемой функции в этих узлах, то они однозначно определяют интерполяционный многочлен степени , значения которого в узлах совпадают с . Тогда разделенные разности многочлена совпадают с разделенными разностями функции . Поэтому интерполяционный многочлен можно записать в форме:

(16)

Эта форма называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.

Формула (17) более удобна для вычисления, чем запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа, т.к. добавление новых узлов интерполяции влечет вычисление только новых слагаемых, добавляемых к тому, что было вычислено с меньшим числом узлов. При использовании формы Лагранжа в этой ситуации требуется выполнять все вычисления заново.

[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

[Home|Кафедра|ПетрГУ]3.4. Численное дифференцирование.

Каждая из рассмотренных ранее интерполяционных формул может быть использована для приближенного нахождения значений производных функции .

Использование интерполяционных многочленов с разделенными разностями.

Пусть(18)

Дифференцируя формулу (18) m раз, получаем:

(19)

(20)

Рассматривая интерполяционный многочлен в форме Ньютона и используя обозначения , имеем

 

Тогда

 

 

. . .

 

Оставляя в правых частях полученных формул только первые слагаемые, можно записать следующие простые приближенные выражения для производных :

 

 

................................................

 

Пусть - достаточно гладкая функция.

Исследуем погрешность приближенных формул для производных первого и второго порядка.

Пусть

(21)

где , - погрешность.

Заменяя значение функции в точке по формуле Тейлора

, где ,

получаем

.

Еще раз применяя формулу Тейлора, получаем

, где .

Таким образом, если функция имеет ограниченную производную второго порядка, то погрешность в формуле (21) для любого оценивается неравенством

(22)

где , и при .

В случае, когда совпадает с одним из узлов интерполяции или , можно получить больше информации о погрешности приближенного решения. Пусть . Используя формулу Тейлора

 

из (21) получаем

.

При величина (если третья производная функции ограничена) бесконечно малая величина порядка , т.е.

(23)

где .

Формулу приближенного вычисления второй производной функции рассмотрим для важного частного случая, когда . Возьмем . Тогда ее можно записать в виде

(24)

По формуле Тейлора

,

,

Подставляя эти выражения, получаем

 

Таким образом, если функция имеет ограниченную производную третьего порядка, то погрешность формулы (24) для произвольной точки оценивается следующим образом:

(25)

где .

Если , то используя для значений и формулу Тейлора, заканчивающуюся членом с производной 4 - го порядка, получаем для погрешности выражение

.

Таким образом, если функция имеет ограниченную производную 6-го порядка, то

(26)

Оценка погрешности по методу Рунге..

(27) В частности, в таком виде записываются формулы (23) и (26) для погрешностей… На сетке с шагом при конечном имеем:

Уточнение приближенного решения.

(32) Формула (32) называется второй формулой Рунге. [О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

Линейный интерполяционный сплайн

, - заданные значения. Сплайном первой степени называется :непрерывная на отрезке , линейная на… График линейного интерполяционного сплайна - это ломаная, проходящая через заданные точки.

Теорема

Если , то .
Действительно,

, где .
По приведенной выше лемме

, где

 

С улучшением гладкости функции оценка погрешности ее интерполяции линейными сплайнами также улучшается. А именно,

если , то , где

Для можно получить оценку .

Дальнейшее увеличение гладкости функции не дает повышения порядка аппроксимации. Происходит насыщение алгоритма.

Сходимость.

. Преимущество по сравнению с интерполяционными многочленами: из оценки… Пусть . По доказанной теореме .

Кубический интерполяционный сплайн

1) 2) Для любого частичного промежутка -многочлен третьей степени 3)

Метод прогонки.

Метод прогонки - реализация метода Гаусса исключения неизвестных для систем линейных уравнений с трехдиагональными матрицами. При этом в случае матриц с трехдиагональным преобладанием автоматически используется главный элемент, что обеспечивает устойчивость вычислений, т.е. гарантирует от накопления ошибок округления результатов арифметических действий.

Пусть требуется найти решение следующей системы линейных алгебраических уравнений

причем для всех . Матрица этой системы является трехдиагональной и имеет следующий вид:  

Метод наименьших квадратов

При интерполировании используется условие равенства значений аппроксимирующей функции и данной функции в заданных точках - узлах интерполяции. Это означает, что значения функции в узлах должны быть заданы с высокой степенью точности. На практике часто возникает задача аппроксимации таблично заданной функции, значения которой известны приближенно. В этом случае используются другие способы аппроксимации. Наиболее распространенный из них - метод наименьших квадратов.

Подбор эмпирических формул

При обработке экспериментальных (опытных) данных нужно иметь в виду ошибки этих данных. Эти ошибки делятся на три категории:
- систематические
- случайные
- грубые.

Систематические ошибки могут быть вызваны условиями эксперимента, дефектами аппаратуры и т.п. Обычно они дают отклонение в одну сторону от истинного значения измеряемой величины. Эти ошибки можно устранить наладкой аппаратуры или введением соответствующих поправок.

Грубые ошибки явно искажают результаты измерений, они чрезмерно большие и обычно пропадают при повторении опыта. Измерения с такими ошибками отбрасываются и не учитываются при обработке результатов.

Случайные ошибки определяются большим числом факторов, которые не могут быть устранены, либо достаточно точно учтены при измерениях и обработке результатов. Они имеют несистематический характер и дают отклонения в ту и в другую сторону при повторении измерений. С вероятностной точки зрения математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. С помощью статистической обработки результатов измерений можно найти закон распределения ошибок измерений, наиболее вероятный диапазон изменения искомой величины (доверительный интервал) и другие параметры. Рассмотрение этих вопросов выходит за рамки данного учебного курса. Здесь ограничимся определением связи между исходными параметром и искомой величиной на основе таблицы значений, .

Задача в том, чтобы найти функцию , значения которой при мало отличаются от опытных данных . Такая функция называется эмпирической формулой.

График эмпирической зависимости, вообще говоря, не проходит через заданные точки . Это приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, а интерполяционная формула повторила бы все ошибки, которые есть в исходных данных.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов:
1) подбор общего вида формулы
2) определение наилучших значений содержащихся в формуле параметров.

Иногда общий вид формулы известен из физических или иных соображений. В других случаях вид может быть произвольным, предпочтение отдаетcя наиболее простым формулам, которые могут выбираться из геометрических соображений, после нанесения экспериментальных точек на координатную плоскость и сравнения полученной кривой с графиками известных функций.

Простейшая эмпирическая формула
(49)

О применимости этой формулы можно судить по величинам .

Если , то формула применима.

В ряде случаев к линейной зависимости могут быть сведены экспериментальные данные, когда их график в декартовой системе координат не является прямой. Это может быть достигнуто путем введения новых переменных :

, которые выбираются так, чтобы точки лежали на прямой. Такое преобразование называется выравниванием данных.

Например, степенная зависимость , логарифмированием преобразуется к виду
(50)

Подбор параметров для выбранного типа эмпирической формулы.

Пусть выбрана эмпирическая формула типа

(51)

где - неизвестные параметры.

Для выбора параметров можно применить метод средних, а именно условие равенства нулю суммы отклонений во всех точках (52)

Имеем одно уравнение с Ошибка! Закладка не определена. неизвестным. Для однозначной разрешимости разбиваем (52) на систему, состоящую из m+1 уравнений. Например,
(53)

Так как систему (53) можно составить по-разному, то и получаемые решения (значения параметров ) будут различными.

Среднеквадратичные приближения.

Решение задачи о нахождении в такой постановке называется методом наименьших квадратов. В теории вероятностей показано, что полученные методом наименьших квадратов… Важный частный случай: , где - линейно независимые функции. Тогда система уравнений (55) будет линейной.

Формула прямоугольников.

Построение.

Простейшая квадратурная формула получается при использовании интерполяционного многочлена нулевой степени.

Фиксируем и заменяем подинтегральную функцию интерполяционным многочленом нулевой степени, который совпадает со значением : . Тогда

(59)

Частные случаи:

- формула левых прямоугольников

- формула правых прямоугольников

- формула средних прямоугольников.

Оценка погрешности.

По формуле Тейлора: . Интегрируя, получаем: (60)

Формула трапеций.

Построение.

Аппроксимируем подинтегральную функцию интерполяционным многочленом 1-й степени

 

Тогда
(66)

Геометрический смысл этой формулы - площадь трапеции, у которой одна из сторон это хорда, соединяющая точки графика , соответствующие и .

Оценка погрешности.

Обозначим . Тогда

Дифференцируя по , получаем: , .  

Формула Симпсона (парабол).

Построение.

Аппроксимируем подинтегральную функцию интерполяционным многочленом 2-й степени, совпадающим с в точках.

(70)

Заменяя Ошибка! Закладка не определена., где и интегрируя (70), получаем

 

Таким образом, квадратурная формула имеет вид:

(71)

Она называется квадратурной формулой Симпсона или формулой парабол (т. к. дуга кривой заменяется на дугу кривой второго порядка).

Оценка погрешности .

,    

Оценка погрешности численного интегрирования.

Оценки погрешности квадратурных формул, полученные в предыдущем разделе, дают представление о влиянии исходных данных задачи (подинтегральной функции, длины промежутка интегрирования) на величину погрешности.

В случае обобщенных квадратурных формул эти оценки содержат параметр - длину каждого из равных частичных промежутков, на которые разбивается отрезок . При (т.е. когда число частичных промежутков ) погрешность каждой из этих квадратурных формул стремится к нулю. Причем скорость стремления к нулю (порядок малости относительно ) для разных квадратурных формул у этих оценок разная: от у обобщенных формул левых (правых) прямоугольников до у оценки погрешности обобщенной формулы Симпсона. Показатель степени в этих оценках еще называют порядком точности квадратурной формулы.

Практически использование оценок (65) , (69), (74) затруднено, а иногда и не возможно из-за наличия в них величин, , - верхних границ абсолютных значений соответствующих производных подинтегральной функции.

Исходя из формул, выражающих остаточные члены квадратурных формул через значения производных подинтегральных функций, можно получить представление для остаточных членов вида (31), которые позволяют использовать для оценки погрешности интегрирования метод Рунге.

Например, выражение для остаточного члена формулы трапеций имеет вид:

.

Для остаточного члена обобщенной формулы трапеций получаем:

, где

- это интегральная сумма для , т.е.

, где - это величина, стремящаяся к нулю при ( ). Таким образом, для погрешности обобщенной формулы трапеций имеем формулу вида:

, где (75)

Аналогично, для погрешности обобщенной формулы Симпсона выводится формула , где выражается через интеграл от производной четвертого порядка подинтегральной функции. Тогда первая формула Рунге (31) дает оценку погрешности значения интеграла, вычисленного о обобщенной квадратурной формуле с шагом ( ) через это приближение и приближение, вычисленное с шагом ( ):

для формулы трапеций ,

для формулы Симпсона .

[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

[Home|Кафедра|ПетрГУ]4.2. Одношаговые методы численного решения

Классификация численных методов для задачи Коши

Рассмотрим разбиение отрезка на интервалов точками , так, что . Такое разбиение называют сеткой, точки - узлами сетки. Если - постоянное число (шаг сетки), не зависящее от , то сетка называется равномерной. Численные методы позволяют находить приближенные значения для точного решения задачи Коши в узлах сетки: . В качестве приближенного решения в таком случае выступает совокупность векторов (таблица), которую называют сеточной функцией.

Большинство численных методов можно записать в следующем общем виде:

 

где - некоторая известная функция, зависящая от вида уравнения, выбранной сетки и метода решения. При и методы называются одношаговыми, при или - многошаговыми. При численные методы носят название явных, при - неявных, при - методы с забеганием вперед. Таким образом, одношаговые методы имеют вид:4.4. Устойчивость

Устойчивость задачи Коши по начальным данным

Рассмотрим вопрос об устойчивости задачи Коши

по начальным данным. Пусть - решение задачи Коши с начальным условием . Тогда для функции можно написать дифференциальное уравнение , ,

Устойчивость схемы Эйлера на модельной задаче

. Оказывается, что свойство устойчивости разностных схем связано с их… , отсюда

Сходимость методов Рунге - Кутта второго порядка

4.6.1. Исследование сходимости семейства разностных схем
на модельной задаче

Рассмотрим вопрос о сходимости схем семейства (9) в применении к модельной задаче Коши

Разностная схема (9) принимает вид , отсюда можно заключить, что

Сценарий построения разностных схем

, . наиболее употребительными являются -шаговые методы вида , , (12)

Построение двухшаговой и трехшаговой схем

. Тогда, как показано в разделе 3.3, можно интерполировать функцию на отрезке…  

Погрешность аппроксимации

Определим порядок аппроксимации двухточечной явной схемы Адамса (15):

.

Разложим в этом представлении слагаемые по степеням :

,

.

Получим такое выражение для погрешности аппроксимации:

.

Учитывая теперь, что и Ошибка! Закладка не определена., получим результат:

,

т.е. двухшаговая явная схема Адамса имеет второй порядок аппроксимации.

Устойчивость на модельной задаче

, , . Для модельного уравнения схема примет вид  

Построение неявных схем

, где ,

Нахождение решения неявной разностной схемы

, (20) где , .

Граничные условия

, связывающих значения функции и ее производных до порядка в этих точках. При задача называется краевой или граничной. Такие задачи наиболее часто встречаются в приложениях. Для решения…

Метод стрельбы для краевой задачи с ОДУ 2-го порядка

(22) (23) Рассмотрим также задачу Коши для уравнения (22) с начальными условиями

Общая задача.

Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.

(28) на интервале с краевыми условиями первого рода: (29)

Сходимость разностной схемы.

  Пользуясь линейностью оператора (33) и введенными ранее безиндексными… , (35)

Краевые условия 2-го и 3-го рода.

  Будем решать эту задачу с помощью трехточечной разностной схемы (31) с… ,

Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.

(28) на интервале с краевыми условиями первого рода: (29)

Сходимость разностной схемы.

  Пользуясь линейностью оператора (33) и введенными ранее безиндексными… , (35)

Краевые условия 2-го и 3-го рода.

  Будем решать эту задачу с помощью трехточечной разностной схемы (31) с… ,

Пример.

 

Для графического отделения корня необходимо построить график функции f(x), составив таблицу значений функции на интервале [0,2] с шагом равным 0.2

 

С помощью рисунка можно определить, что положительный корень лежит в промежутке [1.2, 1.4].

Для уточнения корня методом хорд проверяется достаточное условие применимости метода. Для этого определяются знаки функции и второй производной на концах выбранного промежутка. За начальное приближение принимается то из чисел, для которого эти знаки одинаковы.

 

 

Вычисления по формулам производятся до тех пор, пока не совпадут две последние итерации. Значение функции при x=1,31492 равно нулю, следовательно корень уравнения равен 1,31492.

 

Значение корня можно получить, используя стандартную функцию пакета root, предназначенную для нахождения корня уравнения, задав z=1,4 (приблизительное значение корня).

 

Корень уравнения равен 1.31492.

 

1.1.2. Приближенное решение уравнений методом касательных.

Тема: Графическое отделение и вычисление методом касательных наименьшего положительного корня уравненияf(x)=0 с точностью .

Пример.

 

Для графического отделения корня необходимо построить график функции f(x), составив таблицу значений функции на интервале [0,2] с шагом равным 0.2

 

С помощью рисунка можно определить, что положительный корень лежит в промежутке [1.2, 1.4].

Для уточнения корня методом касательных проверяется достаточное условие применимости метода. Для этого определяются знаки функции и второй производной на концах выбранного промежутка. За начальное приближение принимается то из чисел, для которого эти знаки одинаковы.

 

 

Вычисления по формулам производятся до тех пор, пока не совпадут две последние итерации. Значение функции при x=1,31492 равно нулю, следовательно корень уравнения равен 1,31492.

 

Значение корня можно получить, используя стандартную функцию пакета root, предназначенную для нахождения корня уравнения, задав z=1,4 (приблизительное значение корня).

 

Корень уравнения равен 1.31492.

 

 

1.1.3. Приближенное решение уравнений комбинированным методом хорд касательных.

Тема: Графическое отделение и вычисление комбинированным методом хорд и касательных наименьшего положительного корня уравненияf(x)=0 с точностью .

Пример.

 

Для графического отделения корня необходимо построить график функции f(x), составив таблицу значений функции на интервале [0,2] с шагом равным 0.2

 

С помощью рисунка можно определить, что положительный корень лежит в промежутке [1.2, 1.4].

Для уточнения корня комбинированным методом хорд и касательных проверяется достаточное условие применимости метода. Для этого определяются знаки функции и второй производной на концах выбранного промежутка.

 

За начальное приближение принимается то из чисел, для которого эти знаки одинаковы. За следующее приближение принимается другой конец промежутка. Вычисления по формулам производятся до тех пор, пока не совпадут две последние итерации. Значение функции при x=1,31492 равно нулю, следовательно корень уравнения равен 1,31492.

 

Значение корня можно получить, используя стандартную функцию пакета root, предназначенную для нахождения корня уравнения, задав z=1,4 (приблизительное значение корня).

 

Корень уравнения равен 1.31492.

1.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Тема: Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пример.

 

Записывается расширенная матрица

 

В матрице a выбирается максимальный по модулю элемент, который называется главным. На этот элемент делится строка расширенной матрицы, содержащая главный элемент.

 

Полученный результат записывается в матрицу k.

 

Из каждой строки матрицы k вычитается строка, содержащая главный элемент, умноженная на элемент, стоящий на пересечении текущей строки и столбца, содержащего главный элемент.

 

В результате коэффициенты при обращаются в нуль.

Дальнейшие вычисления производятся аналогично.

 

 

 

В результате получается расширенная матрица, состоящая из единичной матрицы и вектора-столбца.

 

Вектор-столбец является решением исходной системы.

 

Решение системы линейных уравнений можно найти, используя операторы пакета для работы с матрицами.

 

 

1.3. Итерационные методы решения систем уравнений

1.3.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.

Тема: Решение системы линейных уравнений методом Зейделя с точностью.

Пример.

 

Для вычисления по формулам составляются матрицы A1 (из исходной матрицы A берутся диагональные элементы) и A2 (из исходной матрицы A берутся элементы, стоящие ниже главной диагонали).

В качестве начального приближения берется произвольный вектор (можно взять вектор правых частей). Задается количество итераций.

 

 

Вычисления по формулам производятся до тех пор, пока не совпадут две последние итерации.

 

За решение системы можно принять результат последней итерации.

 

1.3.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом релаксации.

Тема: Решение системы линейных уравнений методом релаксации с точностью.

Пример.

 

Выбирается параметр релаксации. В качестве начального приближения берется вектор правых частей.

 

Вычисления производятся по формуле до тех пор, пока не совпадут две последние итерации.

 

1.4. Вычисление собственных чисел и собственных векторов матрицы.

Тема: Вычисление собственных чисел и собственных векторов матрицы методом вращения.

Пример.

 

В исходной матрице выше главной диагонали выбирается максимальный элемент. Определяется угол поворота.

 

Строится ортогональная матрица простого поворота. Угол подбирается так, чтобы у матрицы A0 элемент обратился в нуль.

 

Дальнейшие преобразования проводятся аналогично.

 

 

 

 

 

Через конечное число шагов получена матрица, на главной диагонали которой стоят собственные числа исходной матрицы.

Столбцы матрицы U являются нормированными собственными векторами исходной матрицы.

 

2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа

 

 

 

2.2. Использование интерполяционного многочлена для вычисления производной.

 

 

 

2.3. Интерполяционный кубический сплайн

 

 

 

 

 

 

2.4. Метод наименьших квадратов

 

 

2.5. Квадратурные формулы

2.5.1. Формула трапеций

 

 

 

 

 

Формула Симпсона

     

Неявный метод Эйлера.

Мы можем воспользоваться другой разностной схемой, также имеющей первый порядок точности:

.

В таком случае для определения на каждом шаге приходится решать нелинейное уравнение. Для этого можно использовать встроенную функцию пакета MathCAD. В качестве начального приближения для предлагается взять начальное значение .

 

 

 

 

 

Метод Рунге-Кутты второго порядка точности.

Согласно этому методу, для решения задачи Коши используется семейство разностных схем вида

.

Все эти схемы при любом параметре имеют порядок аппроксимации . В частности, при численное решение исходной задачи Коши принимает вид:

 

 

 

 

 

Явный двухшаговый метод Адамса.

Двухшаговая схема Адамса имеет вид:

.

Погрешность аппроксимации этой схемы имеет второй порядок по . Для начала работы схемы необходимо знать не только , но и , значение которого можно определить с помощью рассмотренного выше метода Рунге-Кутты. Тогда решение исходной задачи Коши средствами пакета MathCAD примет вид:

 

 

 

 

 

 

 

Неявный двухшаговый метод Адамса.

В соответствии с этим методом приближенное решение задачи Коши ищется с помощью неявной разностной схемы

где . Значение определяется с помощью метода Рунге-Кутты. Для решения неявного нелинейного уравнения предлагается воспользоваться методом… . В качестве нулевого приближения можно использовать решение, полученное с помощью явной двухшаговой схемы Адамса. …

Тема. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка в самосопряженной форме с краевыми условиями первого рода. Применение разностной схемы второго порядка аппроксимации.

Пример. Дана краевая задача:

, , .

Методами теории дифференциальных уравнений можно найти общее решение этого линейного неоднородного уравнения:

.

Умножив дифференциальное уравнение на функцию , приведем его к самосопряженному виду:

,

где , , . Тогда разностная схем второго порядка аппроксимации будет иметь вид:

 

где , , . Для решения этой системы линейных уравнений можно применить метод прогонки.

 

 

 

 

 

 

 

[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

[Home|Кафедра|ПетрГУ]

 

[Home|Кафедра|ПетрГУ]