Весьма широко на практике применяется итерационный метод Зейделя:
Компоненты находятся последовательно по формулам:
Запишем этот метод в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы
,
где
, - нижняя треугольная матрица,
, - верхняя треугольная матрица.
В этих обозначениях метод Зейделя записывается следующим образом:
(28)
Применим теорему 2 для исследования сходимости метода Зейделя.
. В этом случае
,
,
если . Следовательно, метод Зейделя сходится, если .
Неравенство следует из условия .
Таким образом, метод Зейделя всегда сходится, если A - положительная матрица.