Предположим, что матрица системы линейных уравнений и вектор правых частей заданы неточно и вместо предъявленной к решению системы
(30)
в действительности решается некоторая система
, где (31)
Обозначим решения (30) и (31) через и
Оценим погрешность решения .
Подставим выражения , и в (31)
Вычитая (30), получим
(32)
Если малы и , то следует ожидать и малости . Тогда слагаемое имеет более высокий порядок малости.
Отсюда следует оценка погрешности
. (33)
Довольно распространен случай, когда погрешность матрицы системы существенно меньше погрешности правой части; в качестве модели этой ситуации будем рассматривать случай точного задания матрицы системы. Тогда, полагая в (33) имеем
(34)
Для качественной характеристики связи между погрешностями правой части и решения вводится понятие обусловленности матрицы системы. Абсолютные погрешности правой части и решения системы зависят от масштабов, которыми измеряется эти величины и матрица системы. Поэтому правильнее характеризовать свойства системы через связь между относительными погрешностями правой части и решения.
Для относительной погрешности решения из (34) имеем
(35)
отсюда .
Подставляя оценку для в (35) имеем
(36)
Величину называют мерой обусловленности матрицы.
Величина относительной погрешности решения при фиксированной величине относительной погрешности правой части может стать сколь угодно большой при достаточно большой мере обусловленности матрицы. Число обусловленности зависит от выбора нормы матрицы. Любая норма матрицы не меньше ее наибольшего по модулю собственного значения, т. е. . Собственные значения матрицы и взаимно обратны; поэтому .
Таким образом,
Системы уравнений и матрицы с большими значениями мер обусловленности принято называть плохо обусловленными, а с малыми - хорошо обусловленными.
[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]
[Home|Кафедра|ПетрГУ]
Таким образом,
Системы уравнений и матрицы с большими значениями мер обусловленности принято называть плохо обусловленными, а с малыми - хорошо обусловленными.
[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]
[Home|Кафедра|ПетрГУ]2.6. Алгебраическая проблема собственных значений
Большое число научно-технических, экономических и других задач, а также потребности самой вычислительной математики приводят к вопросу нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц, т. е. отыскание таких значений , для которых существуют решения системы алгебраических уравнений
(37)
Различают две постановки задачи и самих этих решений:
- нахождение одного или нескольких собственных чисел (и соответственно - векторов) - частичная проблема собственных значений;
- нахождение всех собственных чисел (и соответственно - векторов) - полная проблема.
Среди большого числа алгоритмов, предназначенных для решения этих задач, нет такого, который можно было бы рассматривать как универсальный, пригодный во всех случаях.