Степенной метод позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор.
Пусть - собственные числа матрицы A. Для определенности предположим, что
Берем произвольный ненулевой вектор . Строим последовательность векторов
, ,...,
Тогда
( 38)
для любого номера i=1,2,...,n.
Точнее
(*)
Докажем это в предположении, что матрица A имеет n линейных независимых собственных векторов . Запишем разложение вектора по базису из собственных векторов
.
Тогда
Так как для k=2,...,n и для k=3,...,n , то отсюда следует, что при выполняется соотношение (*)
Взяв достаточно большой номер итерации m, мы сможем с любой степенью точности определить по формуле (38) наибольший по модулю корень характеристического уравнения для матрицы A. Для нахождения этого корня может быть использована любая координата вектора , в частности, можно взять среднее арифметическое соответствующих значений.
Так как , то при
.
Поскольку собственный вектор определяется с точностью до скалярного множителя, то сам вектор приближенно представляет собой собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .